耗散型非局部发展方程的高效数值算法及其长时间性态

The fractional complex Ginzburg-Landau equation is a class of nonlinear dissipative evolution equations with the nonlocal character, and it has received lots of attention in scientific and engineering fields. So far, the existing numerical studies mainly focus on the efficiency and convergence of numerical methods in the finite time interval. However, the equation is an infinite-dimensional dissipative system and has long-time dynamics. In order to capture the long-time dynamics in numerical simulations, in this project, we will investigate in detail the long-time behaviour of numerical methods. To this end, we will develop some dissipativity-preserving numerical methods, especially the high-order methods. Meanwhile, for evaluating the behaviour of these methods, we will study their long-time stability and convergence. Furthermore, we will give a necessary and sufficient condition to ensure that the semi-discretized system preserves the dissipativity of the original system. Based on this condition, we will develop some new numerical approximations to the fractional Laplacian. The research results in this project will provide technical support and theoretical basis for the long-time simulation of the equation in polariton condensates, phase transitions, neural networks and other fields of science.

分数阶复Ginzburg-Landau方程是一类带非局部特征的非线性耗散型发展方程，在科学与工程中广受关注。当前针对该方程的数值分析研究主要侧重于算法在有限时间区间的计算效率和收敛性分析。然而，该方程为无穷维耗散系统，具有长时间动力学性态。本项目旨在研究可用于长时间计算的数值算法，从而在数值仿真中更好地捕捉方程的长时间性态。为此，我们将构造几类保持原系统耗散性的数值算法，特别是保耗散的高阶算法。同时，为有效评估该类算法的长时间性态，我们将考察算法的长时间稳定性和收敛性。另外，在保耗散算法的构造中，我们将给出空间半离散系统保持原系统耗散性结构的充分或充要条件，为分数阶Laplacian算子构造适当的离散方法。本项目所获研究成果将被广泛应用于极化子凝聚、相流传输以及神经网络等科学问题，并为应用中所需的长时间数值仿真提供必要的技术支持和理论依据。

分数阶复Ginzburg-Landau方程是一类带非局部特征的非线性耗散型发展方程，在科学与工程中广受关注。本项目主要研究了该方程和相关方程的高效数值算法及其长时间性态。在分数阶复Ginzburg-Landau方程方面，针对隐式方法求解时需要迭代运算从而计算成本较大的问题，构造了一类隐显型差分方法，引入带权因子使得该方法类包含多个经典算法，并挑选因子得到了在长时间数值仿真中具有最高精度的新算法，建立了该算法关于权因子一致成立的无条件收敛性；方程真解在空间上的慢衰减性造成从无界域截断到有界域时需要选取较大区域，这在多维问题求解时计算量将非常大。通过采用指数时间差分方法进行时间离散和Fourier型双正交映射Chebyshev函数为基函数的空间离散，直接在无界域求解方程，获得了一类即使对多维问题也非常有效的数值算法。在分数阶复Ginzburg-Landau方程中，令一些系数趋于零，形式上便可得到分数阶Schrödinger方程，我们研究了具有较好长时间性态的保辛结构和多辛结构算法的收敛性。在经典非线性Schrödinger方程方面，针对怪波解在空间上慢衰减(仅代数衰减)且不衰减到零的特征，构造了一类高阶的并且易于求解的局部边界条件和算法，在不增加计算量的情况下提高了数值精度，并基于此，首次研究了怪波的碰撞等动力学性态，解决了当前文献中广泛采用的周期边界需要很大的计算区域从而造成计算成本高的问题；通过算子补偿技巧，对Laplacian算子构造了一类可到达任意阶精度的逼近方法，并通过严格分析给出了该逼近方法的系数表达式，随后将该方法应用到一类非线性Schrödinger方程的求解中，设计了两类保持守恒性质的高效算法；此外，还研究了一类相关的Volterra积分方程分片Hermite配置方法的误差估计。本项目所获结果丰富了发展方程算法理论，在相关领域也具有广泛应用前景。