几类带非局部特征刚性问题的高效数值算法及其理论分析

The evolution of many complex systems in science and engineering exhibits characteristics of nonlocality: memory in time or global correlation in space. The corresponding mathematical models include (but are not limited to): delay differential equations, Volterra integro-differential equations (with or without delays), and fractional evolution equations with the fractional Laplacian. In this project, we aim at the study of efficient numerical algorithms for these nonlocal problems from the point of view of the treatment of stiff problems. For stiff differential equations with delays, we focus on the delay-dependent stability of numerical algorithms. For Volterra integro-differential equations with delays, we investigate not only the stability of numerical algorithms, but also their convergence independent of stiffness. For the fractional Ginzburg-Landau equation, we first discretize the spatial derivative to obtain a semi-discrete system, which is a set of stiff ordinary differential equations. Then time discretizations are considered. The unconditional stability and convergence of the fully discrete schemes will be investigated. The results obtained in this project will enhance the algorithm theory of stiff differential equations with characteristics of nonlocality and have a wide range of applications in automatic control, biology, physics and some related areas.

科学与工程中许多复杂系统的演化呈现非局部的特征，即具有历史记忆性或者空间全域相关性。相应的数学模型包括（但不限于）：延迟微分方程、（延迟）Volterra积分微分方程以及带分数阶拉普拉斯算子的分数阶发展方程。本项目将从刚性问题处理的角度研究这几类重要非局部问题的高效数值算法及其理论。对刚性延迟微分方程，重点研究算法的延迟依赖稳定性。对延迟Volterra积分微分方程，不仅研究算法的稳定性，还将研究其不依赖于问题刚性的收敛性。对分数阶Ginzburg-Landau方程，首先离散空间导数将其转化为刚性常微分方程组，再考虑时间离散，并对所获全离散格式分析其无条件稳定性和收敛性。本项目所获成果将丰富和发展带非局部特征的刚性微分方程的算法理论，同时在自动控制、生物、物理等领域具有广泛应用前景。

本项目从刚性问题处理的角度研究几类非局部问题的高效数值算法及其理论。因此，重点研究算法的保稳定性、守恒性和没有网格比限制的收敛性。对空间分数阶薛定谔方程，证明隐式中点/傅里叶拟谱离散能保持辛和多辛结构，这也是国内外有关分数阶微分方程辛算法的第一项工作。此外，还构造了多个基于有限元和谱方法离散空间的保能量线性隐式方法，并证明其无条件收敛性。对空间分数阶Ginzburg–Landau方程，构造多个线性隐式型的高阶隐显差分方法和Galerkin谱方法，证明其无条件收敛性。对带时间分数阶导数的2阶和4阶反应扩散方程，分别构造基于非协调虚拟有限元空间离散、非一致网格L2-1σ公式时间离散的格式，证明其无条件稳定性，并给出最优误差估计。对Volterra积分微分方程数值方法，提出V0-稳定性概念，构造了1至3阶V0-稳定的方法，并研究全隐式离散配置方法的A0-稳定性和V0-稳定性。对带比例延迟的Volterra泛函积分方程，获得拟几何网格配置方法的最优超收敛阶。对自卷积Volterra积分方程，提出基于重心有理插值的复合求积方法。对Volterra积分方程构造A稳定且V_0稳定的多步Runge-Kutta方法。对带光滑核和弱奇异卷积核的随机Volterra积分方程，分别构造高效算法，并分析其均方稳定性和收敛性。对一类随机延迟微分方程，获得分裂步theta方法和随机指数欧拉方法的完整延迟依赖均方稳定区域，并证明分裂步向后欧拉方法和随机指数欧拉方法能保持模型方程的均方稳定性。本项目已发表期刊论文42篇，其中SIAM J Sci Comput 1篇，J Comput Phys 1篇，IMA J Numer Anal 2篇，J Sci Comput 3篇，Comput Methods Appl Mech Engrg 1篇；项目培养毕业博士5人，硕士2人。项目所获成果丰富了非局部问题的算法理论，在相关领域也具有广泛应用前景。