非线性复合刚性发展方程高阶隐显方法的理论及其应用

Seeking highly efficient algorithms for stiff evolution equations has been one of important research work in numerically solving differential equations. In this project, we will develop high order stability- or dissipativity-preserving implicit-explicit (IMEX) methods for nonlinear composite stiff evolution equations, and obtain error estimates for these methods. This project mainly includes three aspects as follows: (1) Obtain stability and convergence results on high order IMEX Runge-Kutta methods for nonlinear abstract parabolic equations, and establish dissipativity theory of high order IMEX methods for nonlinear dissipative partial differential equations (PDEs) under a unified theoretical framework; (2) Obtain high order stability- or dissipativity-preserving IMEX methods for nonlinear functional differential equations (FDEs) and partial FDEs (PFDEs) by studying the stability, dissipativity and convergence of IMEX methods for nonlinear FDEs and PFDEs; (3) Apply these obtained highly efficient IMEX methods and the corresponding theoretical results to several classes of reaction-diffusion equations, delay reaction-diffusion equations and three-temperature radiation fluid dynamics equations, design high accuracy fast algorithms for these equations by taking their features into account, and obtain the corresponding theoretical results. Some research contents involved in the project which are still blank at home and abroad are expected to achieve good results since we have obtained some important results on numerical methods for nonlinear PDEs, FDEs and PFDEs in the last few years. These results will not only promote the further development of the related areas of research, but also provide new fast methods and key techniques for scientific computing in practical engineering problems.

寻求刚性发展方程的高效算法一直是微分方程数值解研究中长期的重要工作之一。本项目将寻求非线性复合刚性发展方程保稳定或保耗散的高阶隐显方法并获得其误差估计。主要包括三个方面：（1）研究非线性抽象抛物型方程高阶隐显Runge-Kutta方法的稳定性及收敛性，在统一的理论框架下研究非线性偏微分方程耗散系统高阶隐显方法的耗散性；（2）构造适合于非线性（偏）泛函微分方程求解的隐显方法并研究其稳定性、耗散性和收敛性，获得保稳定或保耗散的高阶隐显方法；（3）将所获高效隐显方法及其理论应用于几类复合刚性数学物理方程，结合各自特点构造其高精度快速算法并建立其算法理论。本项目涉及的一些研究内容尚属国内外空白，而我们对非线性偏微分方程及（偏）泛函微分方程数值解的研究已有一定基础，有望在这些研究内容上取得成果。这些成果不仅可以促进相关研究领域的进一步发展，而且可为工程实际问题中的科学计算提供新的快速算法和关键技术。

寻求刚性发展方程的高效算法一直是微分方程数值解研究中长期的重要工作之一。本项目将寻求非线性复合刚性发展方程保稳定或保耗散的高阶隐显方法并获得其误差估计，为此类方程的高效快速求解奠定理论基础。基于项目研究计划，我们较系统地研究了求解抛物积分微分方程的高阶隐显方法，在获得了其时间正则性基础上，获得了变步长隐显BDF2方法、变步长隐显中点格式、隐显Runge-Kutta方法的稳定性和收敛性结果，并获得了变步长隐显BDF2方法的后验误差估计及基于此估计的自适应算法；对非线性Navier-Stokes方程，构造了线性隐式BDF2方法，此隐显方法仅需要求解线性系统，大大提高计算效率，理论上证明了此方法结合谱方法的全离散格式的稳定性和收敛性，数值实验表明其具有更好的稳定性和鲁棒性；研究了非线性泛函微分方程高阶Runge-Kutta方法的耗散性以及非线性中立型比例延迟微分方程全几何网格单支方法的稳定性和误差估计；本项目首次系统获得了延迟反应扩散方程半离散、全离散数值方法的后验误差估计，为方程的自适应数值求解奠定了理论基础。本项目还将这些研究成果应用于期权定价跳扩散模型的数值模拟，构造了几类期权定价模型的高效变步长隐显算法。这些成果不仅可以促进相关研究领域的进一步发展，而且可为工程实际问题中的科学计算提供新的快速算法和关键技术。. 研究成果具有重要的理论意义。初步建立了非线性复合刚性发展方程高阶隐显方法的理论框架，获得了变步长隐显方法的稳定性和收敛性；创新性地引入依赖延迟椭圆重构，系统研究了偏泛函微分方程数值方法的后验误差估计。这为方程理论及算法的进一步研究奠定了坚实的理论基础。. 另一方面，鉴于非线性复合刚性发展方程广泛出现于物理学、化学、生物学及控制理论等科技领域，包含多种类型的数学物理方程，上述研究成果为这些方程的数值求解提供了算法指导和理论指南，因而本项目的研究成果具有广阔的应用前景。