发展方程的校正型显隐区域分裂算法及其应用

并行计算是大规模科学与工程计算的必然要求。区域分裂是设计发展方程并行算法的重要技术，由于显格式是本性并行的，因而这一技术的本质是实现隐格式的并行化改造。如何使得改造后的并行算法具有良好的并行效率、并尽可能继承相应隐格式的优点（如稳定性、高精度、守恒性等）就成了近年来国内外一个具有挑战性的课题。不久前，一类校正型显隐区域分裂算法被证明是继承纯隐格式稳定性和收敛精度的有效方法。本项目拟通过发展内边界预估-校正技术，如应用高精度显隐格式设计高精度方法、追加松弛或惩罚项实现算法的守恒性等，对抛物、波动和薛定锷等方程的校正型显隐区域分裂算法作系统的研究，并在计算流体等领域加以应用，也对近年来新出现的分数阶发展方程的并行计算作一点初步的探索。显隐区域分解算法设计的难点就在于如何使之继承相应隐格式的优点，设计具有高精度、稳定及守恒的校正型显隐区域分裂方法并给出稳定性和收敛性分析是本项目的特色和创新之处。

本项目研究包括热传导方程、薛定谔和二阶波动方程的高精度显式、隐式差分格式，并构建显隐区域分裂算法；结合分数阶偏微分方程数值解的研究成果，对分数阶发展方程的并行计算方法做一点初步的探索。项目在以下方面取得进展：利用离散H2能量法改善了校正型显隐区域分裂算法的收敛估计，使之与数值结果相一致；对线性薛定谔方程构造了具有四阶精度的交替方向紧致隐格式，给出无穷模意义下的无条件收敛性，并说明了它振荡位势以及高频波的数值模拟中所具有比较优势；将四阶紧致格式应用非线性薛定谔方程的不同波解的模拟中，发现一些常用且具有离散守恒性质的线性化格式未必有长时间计算能力，并构建了一个具有良好长时间性态的线性化算法。利用H2离散能量法重新考察了线性波动方程的三层显式和ADI格式，在理论上解释了波动方程外推阶降现象以及实际计算中四阶启动的必要性，并利用降阶技术构造了一个两层的紧致ADI格式；考察了两类具有时间记忆性质的积分-偏微分方程的数值模拟，对非线性Maxwell方程建立了局部化的高精度半隐格式，对分数阶扩散方程构建了显式格式，并利用离散能量法讨论了稳定性和收敛性。