非线性中立型泛函微分方程高阶保稳定性算法及其应用

寻求保稳定性的算法一直是常微分方程数值解的重要研究工作之一，中立型泛函微分方程在自动控制、电力系统、生物学、电动力学等领域有广泛应用，其数值方法保稳定性分析具有毋庸置疑的重要性。对非线性中立型泛函微分方程低阶保稳定性算法，我们已有较深入地研究。在这一基础上寻求非线性中立型泛函微分方程的高阶保稳定性算法成为本项目的主要研究内容，具体包括以下三个方面：（1）研究非线性中立型比例延迟微分方程数值方法的保稳定性及高阶保稳定性算法；（2）在前项工作的基础上，研究更一般的非线性中立型泛函微分方程数值方法的保稳定性及高阶保稳定性算法；（3）将所获一般结果及高阶保稳定性算法应用于非线性中立型延迟积分微分方程这一特殊情形及中立型部分元等效电路模型这一实际问题，结合各自的特点获得相应的高阶保稳定性算法。本项目的研究成果不仅可以促进相关研究领域的进一步发展，而且可为工程实际问题中的科学计算提供新的方法和技术。

基于项目研究计划，我们较系统地研究了非线性中立型比例延迟微分方程(NPDDEs)数值方法的稳定性和耗散性、非线性中立型延迟积分微分方程(NDIDEs)的数值稳定性以及更一般的非线性中立型泛函微分方程(NFDEs)数值方法的稳定性和收敛性。对NPDDEs，获得了系统耗散的充分条件，研究了隐式Euler方法的保耗散性，建立了一致网格上由θ-方法所获数值解的上界估计，获得了几何网格上Runge-Kutta方法的稳定性；对包含比例延迟微分方程的变延迟微分方程，设计了四个基于单支方法的一致网格上求解这类方程的算法，并分析了这些算法的收敛性。对一般的非线性NFDEs，获得了这类方程理论解稳定、渐近稳定及指数稳定的充分条件，统一了此前相关结果，为这类方程的数值稳定性研究奠定了理论基础；在此基础上，研究了一致网格上带高阶插值的显式和对角隐式Runge-Kutta(RK)方法的稳定性，分析了非一致网格上带高阶插值的高阶代数稳定RK方法的稳定性和收敛性。作为非线性NFDEs的一个特例---非线性NDIDEs，深入分析了数值方法的稳定性：获得了中立型多延迟积分微分方程（积分核不含导数项）理论解渐近稳定的充分条件，讨论了RK方法求解此类方程的渐近稳定性；利用广义Halanay不等式，给出了NDIDEs（积分核含导数项）稳定的两个充分条件，并深入分析了RK方法、单支方法求解此类方程的数值稳定性；当应用这些结果于延迟积分微分方程这一特例时，我们的结果更具有一般性。. 此外，基于Runge-Kutta方法构造了求解非线性中立型分片常数延迟微分方程的两类算法，证明了它们的保稳定性；对偏泛函微分方程，建立了non-Fickian 延迟反应-扩散方程真解及数值解的长时间行为。. 研究成果具有重要的理论意义。完全建立了非线性NFDEs理论解的稳定性理论，统一了此前关于中立型延迟微分方程(NDDEs)、NDIDEs等理论结果；提供了论证这些方程数值稳定性的一般方法，为这些方程理论及算法的进一步研究奠定了坚实的理论基础。. 另一方面，由于NDDEs及更一般的NFDEs广泛出现于电动力学、通讯网络、生物学及控制理论等科技领域，而其理论解一般难以获得，其数值解法是必然手段，因而上述研究成果具有广阔的应用前景。上述研究成果为这些方程的数值求解提供了算法指导和理论指南。