截断Toeplitz算子及其生成C*-代数

Truncated Toeplitz operators play an important role in operator theory and function theory,etc.Since Sarason has published his seminal paper,truncated Toeplitz operators have constituted an active area of research in operator theory.In this project,by using Banach algebra localization method,reproducing kernels and Berezin transformations,and the relationship between truncated Toeplitz operators and truncated Hankel operators and a class of singular integral operators,we will investigated:1.For two truncated Toeplitz operators, What analysis、algebraic and geometric properties of their symbols can guarantee that their commutators or semicommutators are compact; 2.For finite number truncated Toeplitz operators, What analysis、algebraic and geometric properties of their symbols can guarantee that a product of these truncated Toeplitz operators is itself a truncated Toeplitz operator or a product of these truncated Toeplitz operators is a compact(finite rank) perturbation of a truncated Toeplitz operator;3.Fredholm properties and indices of truncated Toeplitz operators with piecewise continuous function symbols and the structure of C*-algebra generated by truncated Toeplitz operators with piecewise continuous function symbols.

截断Toeplitz 算子因为在算子理论、函数理论等领域的重要作用由Sarason首先系统研究并迅速成为近几年函数空间算子理论中研究的热点。本项目主要利用Banach代数局部化理论、模型空间的再生核和Berezin变换理论、截断Toeplitz 算子与截断Hankel算子和奇异积分算子等之间的联系研究如下问题：1.对于两个截断Toeplitz 算子研究算子符号满足什么分析、几何和代数性质可以保证它们的换位子和半换位子是紧或有限秩；2. 对有限个截断Toeplitz 算子研究它们的符号满足什么分析、几何和代数性质能够保证这些截断Toeplitz 算子的乘积还是截断Toeplitz 算子以及这些截断Toeplitz 算子的乘积是截断Toeplitz 算子的紧扰动或有限秩扰动。 3. 研究以逐段连续函数为符号的截断Toeplitz 算子Fredholm性质、指标及其生成的C*-代数的结构。

不变子空间问题是泛函分析中著名的公开问题。不变子空间问题与双圆盘上压缩移位算子的不变子空间格是否饱和问题是等价的。本项目从截断Toeplitz 算子代数性质出发，在双圆盘Hardy空间上，研究了模型空间上一类截断Toeplitz算子（压缩移位算子）的换位子代数中的投影元，进而研究约化子空间。通过利用特征函数、双圆盘Hardy 空间函数理论和算子代数技巧等，给出了这类算子有等距约化子空间的充分必要条件是内函数有一个只依赖与一个变量的内因子，有Alger约化子空间的充分必要条件是内函数是两个单变量内因子的乘积。在双圆盘Hardy空间上，对由一些有理函数生成的模型空间，给出了压缩移位可约或不可约的刻画。在单位圆盘的Hardy空间上刻画了以有两个零点的Blaschke积为符号的截断Toeplitz 算子换位代数，进而刻画了其可约性，并且证明如果可约，则限制在约化子空间上酉等价与压缩移位；对以Blaschke积为符号的截断Toeplitz 算子的可约性给出了一些充分条件，等等。上述成果对研究双圆盘Hardy空间和模型空间结构，研究截断Toeplitz 算子的代数性质、算子结构、可约性和不变子空间等是极大的推动，对解决不变子空间问题有重要的理论意义和科学价值。