推广的Bergman空间上Toeplitz算子及生成的C*-代数的研究

Function theory of several variables is essentially different from that of single variable. Operator theory on several variables function space has more attractiveness because of complexity of several variables function space. Generalized several variables Bergman space is more general Bergman space with respect to a general measure, and usual Bergman spaces is special Generalized several variables Bergman space. Recent some researches have shown that some problems on usual Bergman spaces may be sloved on Generalized Bergman space by more higher methods. Operator theory on Generalized several variables Bergman space is a new area of study, and it is remarkable that many simple questions remain still unsolved. This research consists of three parts: (1) Characterize commutative C*-algebra generated by Toeplitz operators on Generalized several variables Bergman space,and give symbol features of Toeplitz operator which generate commutative C*-algebra. (2)study hypormality、 zero products problem and finite rank problem of Toeplitz operators on Generalized several variables Bergman space.(3)study application of Toeplitz oprators in control theory.

多变量函数空间上算子理论与单变量函数空间上算子理论有本质的差别。由于多变量函数空间的复杂性，使其上算子理论的研究更具有吸引力。推广的多变量Bergman 空间是关于更一般测度下的Bergman 空间，通常的多变量Bergman空间是它的一种特殊情形。研究经验表明通常Bergman 上算子理论的问题，可能在推广Bergman 空间上，利用更高级的方法得到解决，推广的多变量Bergman 空间上的算子理论是一个全新的研究领域。本项目主要研究如下三个问题：（1） 推广的多变量Bergman空间上Toeplitz 算子的交换C*-代数的刻画，给出生成交换C*-代数的Toeplitz 算子符号特征。（2）推广的多变量Bergman空间上Toeplitz 算子和Hankel的亚正规性、有限秩、零积等问题的研究。（3）推广的Bergman空间上的算子在工程技术科学、特别是在控制理论中的应用

在加权的Dirichlet 空间上完全刻画了以连续函数为符号的Toeplitz 算子紧性。在单位圆盘的调和Bergman空间上，完全刻画了带有调和符号的对偶Toeplitz 算子的交换性。研究了向量值 Bergman 空间上块Toeplitz 算子的亚正规性，对以表值为调和函数的矩阵为符号的块Toeplitz 算子的亚正规性给出了充分必要条件；刻画了块对偶Toeplitz 算子的交换性和本性交换性；完全刻画了向量值Bergman 空间上带有调和符号的块Toeplitz 算子的零积问题、换位子的有限秩问题和半换位子的有限秩问题。在单位球的调和Bergman 空间上研究了Toeplitz 算子和小Hankel算子，刻画了带有拟齐次符号的Toeplitz 算子和小Hankel算子的交换性，并且解决了拟齐次符号的Toeplitz 算子和小Hankel算子的乘积问题。完全刻画了Dirichlet 空间上对偶Toeplitz算子的交换性。在Hardy 空间上研究了Toeplitz 算子和Hankel算子乘积的有限和什么时候是Toeplitz （或Hankel）算子的紧扰动，什么时候是零等问题。刻画了多元盘Hardy 空间上Toeplitz 算子的交换性。 系统研究了Toeplitz算子 生成的冯诺依曼代数的结构，同时刻画了双圆盘上一大类Toeplitz 算子的约化子空间。将算子理论应用到控制问题的研究。应用传递性思想研究多个系统的同时镇定性问题。两个系统同时稳定性可解与算子代数套代数Bass稳定秩这一公开问题的解决等价，而三个以及三个以上系统的同时稳定性问题一直是线性系统理论的公开性问题之一。我们给出了基于传递性的n个系统的同时稳定性成立的充分必要条件。另外，从另一个角度解释传递性在同时稳定性研究中的意义：传递性条件是系统强表示条件的有力替代。