多变量函数空间上算子理论若干问题研究

多变量函数论比单变量函数论复杂得多。如：单变量全纯（解析）函数零点一定是孤立的，但多变量全纯函数零点一定不是孤立的。又如：单位球上有三个不同的调和函数概念：调和函数、M-调和函数和多重调和函数；但圆盘上这三个概念一致。因此，多变量函数空间上算子理论比单变量函数空间上算子理论更复杂，问题更丰富，也更具有吸引力。.本项目主要研究单位圆盘Bergman 空间和多变量函数空间上Toeplitz和Hankel算子。以Mellin变换、多重Fourier级数、向量值算子理论和多复变函数理论为工具，研究非调和函数为符号Toeplitz 算子（本性）交换性；给出Toeplitz算子和Hankel算子（本性）交换时符号关系。研究Toeplitz 算子亚正规性。给出亚正规Toeplitz 算子符号特征。研究Toeplitz 算子不变（约化）子空间等其它一些性质；研究函数空间上算子在控制理论和工程技术中的应用。

在加权Bergman 空间上研究了不变子空间上的根算子，给出了不变子空间的指标有限与根算子紧性是等价的；给出了多元盘Hardy空间上Toeplitz 算子亚正规性的刻画；对两个变量的约当块，给出了一个指标公式。利用Mellin变换，在单位圆盘和单位球的Bergman 空间上刻画了带拟齐次符号的Toeplitz 算子的交换性、有限秩等问题；在单位球的加权Bergman 空间上了给出了带有BMO符号的Toeplitz 算子有界和紧的充要条件；刻画了多圆盘加权Bergman空间的约化子空间和一些特殊的不变子空间；研究了块对偶Toeplitz 算子的交换性、乘积等问题；在向量值Bergman空间上，研究了亚正规Toeplitz 算子并且刻画了以调和函数为符号的Toeplitz 算子的交换性、有限秩等问题；利用套代数和Hankel算子理论，给出了一类时变线性系统次优问题的解，推广了Hilbert空间控制理论经典的Youla参数化定理，证明了一个线性系统可镇定的充要条件只依赖于单边分解。