Pisot代换系统的共轭不变量研究

针对不可约幺模Pisot代换的动力系统与组合方面的性质，考虑与代换相联系的Rauzy分形、图递归迭代函数系统以及多重Tiling，研究由此而得到的Tiling与Tiling空间；侧重于(1)从拓扑和分形几何的角度研究 Rauzy分形的各个部分及其边界的结构特征；(2)从拓扑角度探讨相应的Tiling空间的性质与Pisot代换的联系；(3) 在此基础上，进一步了解Rauzy分形的自相似结构、拓扑结构、以及相应Tiling结构的特点以及相互之间的联系，并通过研究这些结构上的特征在代换系统的共轭关系下的变化规律，进而寻找在共轭的不可约幺模Pisot代换中将发生变化的结构特征以及将保持不变的结构特征。

本项目针对不可约么模Pisot代换及其Rauzy分形,在满足超叠合条件时,考虑Rauzy分形X及其各个部分的拓扑结构, 主要目标是探讨Rauzy分形各个部分的一阶同调群, 同时兼顾相关专题中产生的某些分形集的结构的研究. 为此, 针对平面连续统的局部连通性层次, 我们首次给出"非局部连通指数"的定义. 这是一个新的数值变量,可以用于定量描述非局部连通的平面连续统离局部连通性质有多远. 实际上, 平面连续统是局部连通时, 该指数为0; 像正弦曲线这种连续统, 该指数为1; 边界含有不可约连续统的情形, 该指数为正无穷. 这里, 我们提出一个令人感兴趣的重要问题: 能否给出Mandelbrot集的"非局部连通指数"的上界估计? 该指数是否不大于1? 这是弱化的Mandelbrot集的局部连通性猜测, 是本项目后续研究的主要目标之一.