代换动力系统的几何表示和谱问题

关于代换动力系统的谱的研究始于上世纪60年代，等长代换的谱型问题在1979年被完全解决， 此后研究的重点自然转到非等长代换，尤其是Pisot代换。.1982年法国数学家G. Rauzy引入原子表面的概念，给出代换动力系统一个几何表示，开创了研究谱的一个新方法。 本项目拟研究由双曲代换生成的原子表面的分形性质，相关的准周期tiling性质及动力系统性质；研究它们与代换的组合性质以及谱型的关系；研究这些理论在数论中的应用。 Pisot代换的纯点谱猜测是一个长期悬而未决的问题, 我们将围绕这个重要问题展开研究。

本项目重点研究了代换动力系统、自相似集的Lipschitz等价、和自相似集的仿射嵌入三个方面的问题。 . 1. 代换动力系统。 . 代换动力系统的谱的研究在数学和物理上都非常重要。 其中最受关注的问题是 Pisot谱猜测。 我们在论文[H. Rao, Z.Y. Wen and Y.M. Yang, Adv. Math., 2014]中，我们提出共轭迭代函数系(dual IFS)的概念，并构造了一个准周期tiling, 我们把它命名为Rauzy-Thurston tiling. 这个工作把Rauzy 和Thurston 之后的相关研究统一到一个更简明、更优美的框架中，并且可以得到更深入的结果，也把Pisot谱猜测放到一个更广泛的框架之中。. 2. 自相似集合的Lipschitz等价。 . 正如拓扑同构将几何对象分类，Lipschitz等价将分形集分类，一直是几何测度论中非常重要的问题。强分离自相似集的Lipschitz等价性，是一个基本的问题。 Falconer和Marsh(Mathematica，1992)首先研究此问题。我们在 [H. Rao, H.J. Ruan and Y. Wang, Trans. AMS.,2012] 中提出“ 可匹配条件”（matchable condition），证明它是一个Lipschitz不变量， 并彻底解决了两分支自相似集的Lipschitz等价问题。 我们在[A.H. Fan, H. Rao and Y. Zhang, J. Math. Pures. Appl. 2015]和[H. Rao and Y. Zhang, J. Math. Pures. Appl. 2015]中解决了共面情形。. 3. 自相似集的仿射嵌入。. 自相似集的仿射嵌入起源于P.Mattila在1999年提出的一个公开问题：什么样的自相似集可以仿射嵌入到Cantor 三分集中？我们在[D.J. Feng, H. Rao and Y.Wang, Advances Math. 2015] 解决了这个问题。