一类由奇异位势相互作用的多粒子系统及其混沌传播

In this project we will study the many particle systems with singular interaction , which play an important roles in physics and biology and it's mathematical challenge rests with the singularity of potentials. The main contents include the following three parts: 1) Considering the over-damped interacting particle system with Newtonian potential aggregation. Our first target is to get some consequences consisting with the macroscopic Keller-Segel equations: assuming that the initial random variables are independent and identically distributed, if the common probability density is smaller than a given data, the particle model is well-posed and it's mean-field equation is the Keller-Segel equations; otherwise, it blows up. 2) Considering the stochastic particle system with Coulomb potential repulsion. We will study it's well-poseness by the stopping time theory, then obtain the tightness of the trajectories of particles. Finally, we will study the propagation of chaso for this particle system. 3) Considering the second order stochastic particle system with singular potential. We will study the well-posedness of this microcosmic model by the stopping time and martingale. The propagation of chaos for this particle model also will be studied, which is a challenging and interesting problem.

本项目拟研究由奇异位势相互作用的多粒子系统，此类微观模型在物理学和生物学中有着重要的地位，其数学难点在于处理位势的奇异性。主要内容包含：1）研究具有牛顿相互吸引力的过阻尼粒子系统。期望得到与宏观Keller-Segel方程一致的结果，即假设初始值独立同分布，若密度小于某值，此粒子系统的平均场极限方程为Keller-Segel方程组；反之，粒子系统是爆破的。2）研究具有库伦相互排斥作用的布朗粒子系统。期望利用停时理论证明粒子系统是适定的，然后得到粒子轨迹的紧性，进而证明粒子系统的混沌传播且其平均场极限方程为Poisson-Nernst-Planck方程组。3）研究具有奇异势的二阶随机粒子系统。期望利用停时及鞅理论证得此微观系统的适定性，进一步证明此微观系统的混沌传播且其平均场极限方程为一类非线性Fokker-Planck方程，这将是颇具挑战性的有趣问题。

本项目研究具有牛顿或库伦相互作用的布朗粒子系统的混沌传播问题, 主要内容由三部分组成.第一部分考虑一阶的具有牛顿相互吸引作用的随机N粒子系统。假设N个粒子的初始状态独立同分布，其共同的分布密度函数满足一定条件。首先，我们证明了，在有限时间内，粒子发生碰撞的概率大于零。意味着该粒子系统不存在全局强解。然后，在Log截断系数下，严格证明了光滑化粒子系统的混沌传播且相应的平均场极限方程为Keller-Segel方程。并且得到了Keller-Segel方程弱解的Yudovich型唯一性和Wasserstein距离下的稳定性。.第二部分构造出随机多粒子系统，在任意维数下，收敛到椭圆-椭圆Keller-Segel方程。假设N个粒子的初始状态独立同分布，其共同的分布密度函数满足一定条件并且给定合适的化学物质初始浓度。我们严格证明了光滑化的粒子系统的平均场极限方程为椭圆-椭圆Keller-Segel方程。.第三部分考虑二阶的具有库伦相互排斥作用的随机N粒子系统。假设初始粒子几乎处处不碰撞，证明了在其后的任意时刻，粒子也几乎处处不碰撞，从而得到上述粒子系统的适定性。