一类带奇异位势抛物方程的定量唯一延拓性研究及其在控制论中的应用

In this project, we will study the quantitative unique continuation estimate for some singular parabolic equations, and its applications in control theory. The main purpose is to build up the interpolation estimate of the strong unique continuation for this kind of singular parabolic equations, and consider the small propogation of the solution near the singularity point. Then, we will make use of the above quantitative estimate to derive the observability inequality from measurable sets of positive measure, from which we hope to obtain the bang-bang property for the time optimal control problem.

本项目拟展开关于带平方反比奇异位势的热方程的定量唯一延拓性估计式研究，以及它在偏微分方程控制理论中的应用。我们的首要目标是希望建立该类奇异方程解的定量唯一延拓性估计式，探究它的解在奇异点附近的小量传播性质；其次，希望通过上述定量唯一延拓性估计式导出它的解在正可测集上的能观性不等式，从而得到该类方程的时间最优控制问题的bang-bang性。

本项目研究了具有奇异位势的热传导方程的定量唯一延拓性估计式, 以及给出了它在热传导方程的最优控制理论中的应用。我们首先建立了该类奇异方程解的定量唯一延拓性估计式, 考察它的解在奇异点附近的小量传播性质;其次,我们通过上述定量唯一延拓性估计式，导出了它的解在正可测集上的能观性不等式,从而得到该类微分方程的时间最优控制和范数最优控制问题的bang-bang性。我们主要是采用抛物型的频率函数方法，得到了带奇异位势的热方程的定量强唯一延拓性估计式时。值得指出的是，相比于标准的热方程,我们需要将奇异位势所带来的困难考虑进频率函数的定义中。该研究成果不但对带奇异位势的热方程的唯一延拓性和控制理论的发展具有推动作用,而且对一般的带奇异位势或者退化系数的抛物方程的唯一延拓性，以及控制问题的研究也起到了积极的作用。我们相信，在该项目中所运用和发展的方法对某些其他的偏微分方程的相关问题的解决也是具有借鉴意义的。在该项目的资助下，我们将上述的研究成果先后整理成七篇科研论文，均发表在SCI期刊上。