基于Amalgam空间的Hardy空间实变理论及其应用

The real-variable theory of function spaces and the boundedness of operators on function spaces is one central topic of harmonic analysis, which has been widely used in various branches of mathematics and physics. The applicant and his collaborators have studied the theory of Hardy spaces on various underlying spaces, including variable Hardy spaces, (Musielak-)Orlicz-Hardy spaces and their variants associated with operators. Based on these, in this project, via combining the theory of Hardy spaces and the theory of Amalgam spaces, which is widely used in time-frequency analysis, the applicant and collaborators will develop Hardy spaces related to (weighted) Amalgam spaces and established a complete real-variable theory of them, including the atomic and molecular decomposition, characterizations via Riesz transforms and Littlewood-Paley functions, duality and interpolation et al. Moreover, the project will further develop more general Amalgam type Besov-Triebel-Lizorkin spaces and consider the relations among these spaces and the classical modulation spaces, Besov spaces and Triebel-Lizorkin spaces, as well as their applications in the related study of boundedness of operators.

函数空间实变理论及其上的算子有界性是调和分析研究的核心内容之一，已被广泛应用于数学和物理的许多分支. 申请人及其合作者已研究了各种底空间上的Hardy空间实变理论, 包括变指标Hardy空间、(Musielak-)Orlicz-Hardy空间及其相关于算子的变形空间的实变理论. 本课题拟在这些Hardy空间研究基础上, 结合Hardy空间与广泛应用于时频分析的Amalgam空间，系统发展相关于(加权)Amalgam空间的Amalgam-Hardy空间实变理论, 包括原子和分子分解、Riesz变换特征、Littlewood-Paley特征、对偶空间及插值性质等. 在此基础上, 进一步发展更一般的Amalgam型Besov-Triebel-Lizorkin空间，探讨这些空间自身之间及与经典的模空间和Besov-Triebel-Lizorkin空间之间的密切联系, 并将其应用于算子有界性的研究.

本课题原计划研究相关于Amalgam空间的Amalgam-Hardy空间的实变理论, 由此为进一步研究更一般的Amalgam型Besov--Triebel--Lizorkin空间打下基础. 项目执行期间, 项目组已系统地引入和发展了一套欧氏空间上相关于更广泛的Orlicz-slice空间的Hardy空间实变理论. 这类Orlicz-slice Hardy空间的特殊情形即涵盖了原研究目标空间Amalgam-Hardy空间, 因此已达成了预期研究目标. 此外, 本项目也在Hardy空间及其对偶乘积的双线性分解理论和交换子的有界性与紧性、与算子相关的Hardy-型空间实变理论、各向异性的Hardy-型函数空间实变理论、Musielak--Orlicz Hardy空间理论、齐型空间上的Hardy空间实变理论、高斯测度空间上的Sobolev容量理论以及Sobolev空间、Besov-型空间和Triebel--Lizorkin-型空间的球平均特征七个方面获得了进展. 具体包括: 完整地回答了欧氏空间和度量测度空间上的Hardy空间与其对偶Campanato空间的乘积的双线性分解问题; 建立了各向异性混合模Hardy空间和各向异性变指标Hardy--Lorentz空间的实变理论, 其中前者回答了Cleanthous等人所提的几个公开问题; 引入并研究了与满足Davies--Gaffney估计算子相关的变指标弱Hardy空间; 成功获得了Musielak--Orlicz Hardy空间的小波分解特征并建立了鞅Musielak--Orlicz Hardy-型空间的实变理论; 建立了齐型空间上的新的Calderón再生公式并由此完善了齐型空间上的原子Hardy空间的实变理论, 这完整地回答了Coifman和Weiss所提的一个公开问题; 得到了偶数阶Sobolev空间、变指标Besov-型空间和变指标Triebel--Lizorkin-型空间的多种球平均等价特征刻画, 为在度量测度空间上引入并研究相应函数空间提供了新的可能的方式; 系统研究了高斯测度空间上的Sobolev容量的性质并用以在高斯测度空间上建立等容量不等式和Sobolev--Poincaré不等式的经典等价关系. 这些结果有望为调和分析、偏微分方程和应用调和分析等学科中的相关问题的研究提供新的工作空间和方法.