非光滑区域上的Hardy型空间的实变理论及其应用

Many problems in several branches of mathematics, such as modern analysis and partial differential equations, could be attributed to study the boundedness of some special operators on corresponding function spaces, and the study for the boundedness of these operators closely contacts with the corresponding real variable theory of function spaces. Since pursuing the degree for PhD, the applicant and his collaborators studied the real variable theory of Hardy spaces of Musielak-Orlicz type associated with second order elliptic operators of divergence form and Schroedinger operators on Euclidean spaces, and the real variable theory of (weighted local) Orlicz-Hardy spaces on strongly Lipschitz domains in Euclidean spaces and their applications to the study for the regularity of the boundary value problems of Poisson equations. As a continuation and depth of these topics, this subject will intend to further study the real variable theory of Hardy spaces of Musielak-Orlicz type associated with second order elliptic operators of divergence form or Schroedinger operators with boundary conditions on strongly Lipschitz domains of Euclidean spaces, and applications of these spaces to the study for boundedness of the corresponding Riesz transforms and the regularity of the boundary value problems for Poisson equations or Schroedinger equations on bounded nonsmooth domains in Euclidean spaces.

现代分析学与偏微分方程等数学分支中的众多问题均可归结为研究某些特殊算子在相应函数空间上的有界性, 而研究这些算子的有界性则离不开相应的函数空间实变理论. 自攻读博士学位以来, 申请人和合作者研究了欧氏空间上相关于二阶散度型椭圆算子和薛定谔算子的Musielak-Orlicz型Hardy空间的实变理论, 及欧氏空间中强Lipschitz区域上相关于带边界条件的二阶散度型椭圆算子的(局部加权)Orlicz-Hardy空间的实变理论和这些空间在泊松方程边值问题的正则性研究中的应用. 作为这些课题的继续和深入, 本课题拟进一步研究欧氏空间中强Lipschitz区域上相关于带边界条件的二阶散度型椭圆算子或薛定谔算子的Musielak-Orlicz型Hardy空间的实变理论以及这些函数空间在相应Riesz算子的有界性和有界非光滑区域上泊松方程或薛定谔方程边值问题正则性的研究中的应用.

现代分析学与偏微分方程等数学分支中的众多问题均可归结为研究某些特殊算子在相应函数空间上的有界性, 而研究这些算子的有界性则离不开相应的函数空间实变理论. 在该项目中, 建立了强Lipschitz区域上的相关于带边界条件的二阶散度型椭圆算子或薛定谔算子的Musielak-Orlicz型Hardy空间的一些实变特征, 及这些空间在相应(二阶)Riesz变换有界性和薛定谔方程边值问题正则性中的应用. 所获结果改进了Jizheng Huang [Math. Z. 266 (2010), 141-168]的结果. 建立了欧氏空间上Musielak-Orlicz型Hardy空间的Riesz变换特征, 相关于算子的Musielak-Orlicz型Hardy空间的各种实变特征, 相关于二阶散度型椭圆算子或(带磁场)薛定谔算子的二阶Riesz变换在Hardy型空间上的有界性, 以及相关于球拟Banach空间的Hardy型空间的各种实变特征. 所获结果部分地回答了Liang Song和Lixin Yan [Adv. Math. 287 (2016), 463-484]的一个公开问题. 建立了有界(半)凸区域上泊松方程的Neumann问题和Robin问题的可解性, 以及有界(半)凸区域上薛定谔方程的Neumann问题和Dirichlet问题的弱解的梯度全局有界性. 所获结果通过减弱区域的条件改进了Jun Geng和Zhongwei Shen [J. Funct. Anal. 259 (2010)，2147–2164]所得的一个结果.