曲线与曲面造型中若干逼近与收敛性问题研究

综合运用计算几何、矩阵论、概率分布、逼近论、数值分析等多学科交叉和融合产生的新的理论与技术，研究基于恰当概率分布、具紧支集和非紧支集、在曲线曲面造型方面有重要应用的概率型算子族和相应基函数的结构及其分析性质和几何特征。研究基于上述概率分布的曲线曲面造型算法中的逼近与收敛性问题，包括上述曲线曲面的升阶与降阶逼近；上述曲线曲面的离散导数和高阶离散导数的逼近与收敛；确定此类算法构造的曲线曲面的凸包性、变差缩减性和光滑性等重要的几何性质和分析性质。研究各种细分曲面，特别是其典型代表Catmull-Clark细分曲面，Doo-Sabin细分曲面，Loop细分曲面中的逼近与收敛性问题；研究细分曲面相应控制网格的逼近速率以及控制网格的各部分收敛于极限曲面的收敛阶的精确表达和估计。研究细分曲面的offset曲面的逼近问题。本项目研究对推动曲线曲面造型领域以及相关交叉领域的发展和实际应用具有重要的科学意义。

本项目综合运用计算几何、概率分布、曲线曲面造型、逼近论等多学科交叉和融合产生的理论与方法，系统地研究基于恰当概率分布、具紧支集和非紧支集、在曲线曲面造型方面有重要应用的概率型算子族和相应基函数的结构及其分析性质和几何特征；研究基于上述概率分布的曲线曲面造型算法中的逼近与收敛性问题；研究一系列q-型算子及其基函数的逼近与收敛性问题和它们在曲线曲面造型中的应用；研究各种细分曲面技术中的逼近与收敛性问题等；在这些研究上取得了丰硕的成果，圆满完成研究计划，并有进一步的发展。项目研究为上述交叉领域研究提供了新的理论、方法、技术与结果。.结合本项目研究，我们已发表标注国家自然科学基金资助的学术论文58篇。这些论文中被 SCI收录28篇，被 EI收录18篇，被 ISTP收录3篇；这些成果得到国内外同行的重视和引用，我们的论文已被国内外同行在SCI杂志引用28次；项目组有18人次参加了16次国际学术会议，在会议上作学术报告；结合项目研究我们培养了10多名研究生；项目组与美国、印度、罗马尼亚多位科学家进行科研合作，共计发表了6篇合作论文。项目组成员应邀作了2个国际会议特邀报告。项目一些重要成果简述如下：.1、我们通过S–λ概率分布基函数，构造了S–λ曲线曲面。S–λ曲线曲面概括了CAGD中许多的重要曲线与曲面。我们的研究成果为CAGD中原来各自研究处理的各种曲线与曲面提供了一个统一处理的框架；并为曲线曲面造型提供了新的研究对象。2、我们对若干q-型算子族及其基函数进行了深入研究，得到一系列重要结果。这些结果为进一步研究q-型算子在曲线曲面造型中的应用提供了重要的理论依据和计算方法。3、我们运用多层网格计算技术估计了Loop细分曲面的控制网格与极限曲面的误差界，得到了新的整体界和局部界的估计公式。4、我们提出了新的混合嵌入的 Catmull-Clark 细分框架，新的框架是棱独立和稳定的。5、我们在Catmull-Clark 细分曲面的offset曲面等方面的研究也得到了若干重要结果。6、我们以Beta函数和Beta——二项分布为基础引入一类新的曲线基函数和三角面片基函数，在此基础上构造了一类新的曲线和一类新的三角曲面片，为造型研究增添了新的工具。7、我们还得到了其他一系列研究成果。本项目研究的成果对推动曲线曲面造型领域以及相关交叉领域的发展具有重要的科学意义。