曲线曲面造型中的逼近论方法

The objective of this project is to apply some new theories and techniques originating from several special theories and methods of approximation theory combining with the intersection of computer aided geometric design, probability theory and numerical analysis to the theories, algorithms, computations and applications of curve and surface modeling. The study will produce some new methods, tools and results for the intersection field of approximation theory and computer aided geometry design and other related research fields. The main contents include: determine the necessary and sufficient condition of using basis functions of q-operators to curve and surface modeling; study the structures and properties of analysis and geometry of various q-operators and their basis functions and their applications in curve and surface modeling. Make a systematic and thorough study on the approximate properties of multivariate probability operators and the structures and various properties of basis functions of these operators; study will focus on the structural features, properties of analysis and geometry and the related algorithms of multivariate basis function which is corresponding with different marginal distributions or dependent marginal distributions; use the results of study to surface modeling and 3D geometric modeling. Study the key techniques by using some continuous type probability operators and the related continuous distributions and probability density functions to curve and surface modeling. Study the related theories, computations and applications of the above mentioned various algorithms of geometric modeling.

本项目的研究目标是把逼近论若干专门的理论和方法结合计算机辅助几何设计、概率论以及数值分析等多学科交叉产生的新的理论与技术，用于曲线曲面造型的理论、算法、计算与应用的研究；为逼近论与计算机辅助几何设计交叉领域及相关领域的研究提供新的方法、理论和工具。具体的研究内容包括：确定各种q-算子基函数用于曲线曲面造型的充分必要条件；研究适用于曲线曲面造型的各类q-算子及其基函数的结构与性质；把上述q-算子及其基函数用于曲线曲面造型算法。系统深入地研究多元概率型算子的逼近性质以及相应基函数的结构与各种性质；重点研究适用于几何造型的对应于边缘分布不同的多元基函数和边缘分布不独立的多元基函数的结构特征、分析与几何性质以及相关算法；把结果应用于曲面与三维几何体造型。研究把某些连续型概率算子与相应的连续概率分布和密度函数用于曲线曲面造型的关键技术。研究上述各造型算法相关的理论、计算与应用问题。

本项目运用逼近论若干专门的理论与方法结合计算机辅助几何设计、概率分布等多学科交叉与融合产生的理论与方法较系统深入地作了如下研究：研究了多种q-型算子及其基函数的结构、分析与几何性质，并用CAGD方法结合q-算子逼近方法把这些q-算子基函数用于曲线曲面造型，研究相应的造型算法；研究了多元概率型算子和某些连续型概率算子的逼近性质以及相应的基函数的分析与几何性质，并把它们用于几何造型，研究相应的造型算法。本项目研究取得了较丰硕的成果，完成了研究计划。项目研究为上述交叉领域研究提供了新的理论、方法、技术与结果。.结合本项目研究，我们已发表标注国家自然科学基金资助（资助号61572020）的学术论文26篇，这些论文中被SCI收录16篇，被EI收录11篇，被ISTP收录1篇；我们的研究结果得到国内外同行的重视和引用（据SCI数据库，我们的论文已在SCI杂志被引用33次）。项目组成员多次参加了国际学术会议，在会议上作学术报告；结合项目研究我们培养了9名研究生。项目一些重要成果简述如下：.1、研究了Lototsky-Bernstein 算子族的形状保持性质，证明了算子族的保凸性，单调收敛性等，得到了这些算子的基函数的若干重要的几何与分析性质，为这些算子及其基函数在曲线曲面造型的应用提供了重要的理论依据。2、提出了一种广义的修正型q-Gamma算子列；计算和估计了这类算子的各阶矩量，建立了算子列收敛的基本定理；并进一步得到局部逼近和带权逼近的收敛结果。3、研究了B-样条曲面的拟合问题，建立了一个迭代的曲面拟合算法，此新算法使得重建的曲面有更好的逼近质量，新算法优于先前熟知的经典方法。4、研究了q-Poisson算子基函数和q-Baskakov算子基函数，得到其重要的几何与分析性质；这些结果结合q-Poisson分布、q-Baskakov与q-二项分布混合的联合分布构造了q-Poisson曲线、q-Baskakov曲线和一类新的混合曲面；为曲线曲面造型提供了新的工具。5、项目组还得到了其他一系列的研究成果。本项目的研究工作对推动逼近论与CAGD交叉领域的发展具有重要的科学意义。