超曲面几何中若干不等式与刚性问题研究

Geometric inequalities and geometric rigidity are central research subjects in global differential geometry. Typical examples in geometry of hypersurfaces are isoperimetric inequality and rigidity of sphere. This project is concerned with the following geometric inequalities and rigidity problems in geometry of hypersurfaces..1. Weighted isoperimetric type Alexandrove-Fenchel inequality for hypersurfaces in static manifolds; relative Alexandrove-Fenchel inequality for hypersurfaces with free boundary in a ball..2. Rigidity problems on minimal or constant mean curvature hypersurfaces with free boundary or constant contact angle in a ball..3. Convergence of anisotropic Gauss curvature flow and rigidity of anisotropic Gauss soliton..In this project, several techniques in differential geometry, integral geometry and geometric analysis will be utilized and developed, such as geometric variational method, integral method and maximum principle.

几何不等式与几何刚性是整体微分几何中的重要研究课题，等周不等式和球面的刚性定理是超曲面几何中的两个典型代表。本项目将重点研究以下几个超曲面几何中的不等式与刚性问题：.1. 静态流形中超曲面的带权重的等周型Alexandrov-Fenchel型不等式与球中具有自由边界超曲面的相对Alexandrov-Fenchel不等式；.2. 球中具有自由边界或常接触角的极小曲面或常平均曲率曲面的刚性问题；.3. 各向异性Gauss曲率流的收敛性与各向异性Gauss孤立子的刚性问题。.在本项目的实施过程中，拟综合使用微分几何、积分几何以及几何分析中的各类技巧，包括几何变分方法、积分方法、极值原理等。

几何不等式与几何刚性是整体微分几何中的重要研究课题，等周型不等式和球面的刚性定理是超曲面几何中的两个典型代表。本项目的第一部分研究了球体中的相对Alexandrov-Fenchel不等式与扭乘积空间中带权重Alexandrov-Fenchel不等式，证明了一定条件下的扭乘积空间中局部限制曲率流的长时间存在与收敛性, 利用这一结论证明了一类扭乘积空间中带权重的等周型不等式，在球中首次给出了带自由边界或毛细边界凸超曲面的均质积分的定义，计算了它的第一变分公式，证明了证明了最高阶均质积分是拓扑常数，即Gauss-Bonnet-Chern公式在此处的具体形式，以及次高阶均质积分与所有低阶均质积分之间的相对Alexandrov-Fenchel不等式。本项目的第二部分对球中自由边界或具常触角的常平均曲率曲面做了深入研究，证明了空间形式测地球中稳定带毛细边界超曲面的刚性，空间形式测地球中第二类稳定的带毛细边界的常平均曲率曲面的刚性，双曲空间以horosphere为支撑面的稳定带毛细边界超曲面的刚性。本项目的第三部分从非线性位势理论的角度研究了各向异性Alexandrov-Fenchel不等式，证明各向异性Minkowski不等式对于各向异性外向面积最小的区域是成立的，通过各向异性Alexandrov-Fenchel不等式，给出了各向异性Hesse积分的Schwarz对称化的定义，并证明，各向异性Hesse积分在Schwarz对称化下的Polya-Szego原理。