反应扩散模型中的非线性和非局部扩散机制

This project is concerned with the mechanisms of three kinds of diffusion processes in population dynamics： the cross diffusion, the fitness dependent dispersal, and the nonlocal diffusion, and their important effects on the spatial dynamics of one or two species. The significance of the research lies in two aspects. On one hand, we will develop new mathematical methods, including new techniques on a priori estimates, to study the global existence and asymptotic behavior of smooth or weak time-dependent solutions, and the existence, uniqueness and stability of equilibrium solutions for several representative classes of quasilinear parabolic systems. On the other hand, biologically this research will help us understand how these different diffusion processes affect the distribution of species across the landscape and help shed deeper insight into the impact of nonlinear diffusion processes on the biodiversity and the invasion of exotic species. We will mainly discuss the following topics: (1) To investigate Shigesada cross-diffusion model for two competing species, and to introduce and study variants of the Shigesada model; (2) To study Cosner model, Cantrell model for fitness dependent dispersal; (3) To investigate nonlocal diffusion models with protection zone; (4) To seek appropriate and effective methods to deal with the periodic problem for nonlinear fractional Newtonian and non-Newtonian Porous Medium Equations.

本项目旨在研究种群的三类扩散机制：交叉扩散、生长率依赖扩散、非局部扩散，以及它们对于单个或两个种群空间动力学的重要影响。本项目研究意义在于：一方面从理论分析的角度出发，通过对几类具有代表性的拟线性抛物反应扩散方程组的研究，在光滑解或弱解的整体存在性及渐进行为、平衡解的存在性、唯一性及稳定性等各个方面，系统性地发展研究方法，包括一些新的先验估计技巧。另一方面从生物学的角度出发，通过对三种扩散机制的研究，深入了解这些扩散方式对物种在空间中分布的作用，从而进一步了解非线性扩散对生物多样性、物种入侵等方面的影响。本项目研究内容主要包括以下几个方面：(1)对于Shigesada竞争交叉扩散模型及推广模型的研究；(2)对于Cosner扩散模型、Cantrell竞争扩散模型及推广模型的研究；(3)对于具有保护区域的非局部扩散模型的研究；(4)对于非线性分数阶渗流方程组或者非牛顿渗流方程的周期问题的研究。

本项目主要考虑具有多种扩散机制，如交叉扩散、生长率依赖扩散、非局部扩散的非线性扩散方程，以及它们对于单个或两个种群空间动力学的重要影响。本项目研究意义在于：一方面从理论分析的角度出发，通过对几类具有代表性的拟线性抛物反应扩散方程组的研究，在光滑解或弱解的整体存在性及渐进行为、平衡解的存在性、唯一性及稳定性等各个方面，系统性地发展研究方法，包括一些新的先验估计技巧。另一方面从生物学的角度出发，通过对几种扩散机制的研究，深入了解这些扩散方式对物种在空间中分布的作用，从而进一步了解非线性扩散对生物多样性、物种入侵等方面的影响。..项目在几个主要研究内容上均取得了实质性的进展,项目组成员共完成39篇论文。在人才培养方面,通过该项目和众多青年学者和研究生深入合作,在生物数学和偏微分方程这个交叉方向上支持了一些年轻人才的成长，培养了7位博士生和10位硕士生。.