空间非局部生物模型的反应扩散波

自1937年以来，反应扩散方程的行波解理论被广泛用来描述和解释物理、化学、生物等学科中的不同问题，是现代数学研究的重要领域。本项目将致力于近年来在生物入侵和传染病空间传播等方面具有重要应用的受空间非局部作用和时间时滞影响的反应扩散模型的行波解问题，主要内容有：研究高维空间中受空间非局部和时滞影响的纯量反应扩散方程的非平面波，包括存在性、唯一性和稳定性，建立非平面波存在的一般结果并发展相关方法；进一步研究非平面波之间的相互作用及相关的整体解问题；研究高维空间中受空间非局部和时滞影响的单调反应扩散系统（方程组）的非平面波及相关性质；研究具有空间非局部作用和时滞的高维传染病模型的行波解，发展关于其存在性的方法和一般框架，建立行波解存在的阈值理论。讨论空间非局部作用和时滞对行波解存在性及其性质的影响，探讨在生物入侵和传染病空间传播中的应用。

自1937年以来，反应扩散方程的行波解理论被广泛用来描述和解释物理、化学、生物等学科中的不同问题。随着研究的深入，发现空间非局部和时滞等因素对种群入侵、传染病空间传播等的空间动力学行为有本质影响。与此同时，在燃烧理论、化学反应等学科的实验观察和数值计算中已经发现了具有多种不同形状水平集的非平面行波解。所以通过数学研究来寻找和刻画可能存在的非平面行波解，分析空间非局部和时滞对波的传播的影响，就成为非常重要的问题。本项目针对这些问题展开了研究，项目进展顺利，目前已完成主要内容，达到预期目标。主要内容和成果包括：（1）建立了反应扩散系统在二维空间中的V形行波解和高维空间中的棱锥形行波解的存在性、唯一性及稳定性。通过发展新的方法，对常系数的两种群L-V型强竞争系统建立了轴对称行波解。利用动力系统方法和渐近传播理论，对时间周期系数的两种群Lotka-Volterra型强竞争系统建立了周期行波解的存在唯一性和渐近稳定性。（2）建立了时间周期反应扩散方程在时间周期V形波和时间周期棱锥形波的存在唯一性及稳定性。特别地，证明了Allen- Cahn方程的二维V形波前解在空间衰减初值扰动下的高维渐近稳定性。 而对于一般的初值，构造了在两个二维V形波前解之间振动的解，说明对于一般的初值，二维V形波前解在高维空间中不总是渐近稳定的。（3）通过提供一般的方法框架，对几类具有或不具有空间非局部作用和时间时滞的传染病模型证明了非平凡行波解的存在性和不存在性，建立了相应的阈值条件。研究了具有退化单稳非线性项的非局部扩散方程的行波解的定性性质，发现具有最小波速的行波解是以确切的指数行为衰减的，而其它的行波解并不以指数形式衰减。最后，证明了最小波速恰好就是具有紧支集初值解的渐近传播速度。（4）研究了一类具有非局部扩散算子的双稳方程和一类具有非局部效应的时滞格微分方程的行波解之间的交错作用并建立了相应的整体解，发现对空间离散的格微分方程的整体解而言，不具有如同连续空间方程整体解的平移不变性。建立了具有空间周期单稳型非线性项的反应对流扩散方程的由脉动型行波解（本身是高维非平面波）相向传播产生的脉动型整体解。