有孔区域上的非线性扩散方程

本项目旨在研究有孔区域上的非线性扩散方程、其相应的控制问题以及数值算法。本项目研究意义在于通过对有孔区域上的非线性扩散方程的研究、对其相应的控制问题的分析，以及对该类问题数值算法的讨论，既可以发展和充实偏微分方程本身的理论，又能为解决诸如在细胞学、复合材料学（如蜂巢、泡沫等材料）、民事工程学等许多领域中出现的实际问题提供重要的参考。本项目研究内容主要包括以下几个方面：(1) 建立和改善具有实际背景和应用价值的有孔区域上非线性扩散方程的数学模型。(2) 有孔区域上非线性扩散方程的基本理论研究，包括方程解的合理定义、解的存在性与非存在性、惟一性与多解性以及解的性质等。(3) 有孔区域上由非线性扩散方程支配的控制问题的研究，包括系统的能控性、能观性，最优控制问题中最优控制的存在性、惟一性、必要条件等问题。(4) 有孔区域上非线性扩散方程的各种数值算法的研究，包括算法的收敛性、稳定性及误差估计。