几类带有非局部扩散的反应-扩散方程组的爆破解和周期解

The aim of this project is to study the global/non-global solution of several reaction-diffusion systems. All the systems we considered including the following new type of diffusion : nonlocal diffusion. In recent decades, mathematicians found that, in some speical diffusion models, it is more precise to use a nonlocal diffusion operator instead of a local diffusion operator. Based on this, mathematicians use nonlocal diffusion operator to model very different applied situations, for example in biology, image processing, particle systems, etc. The present results suggest that the property of nonlocal diffusion operator is similar to local diffusion operator. In order to find out more about nonlocal diffusion, we consider two problems: One is to derive the critical exponent, blow-up rate and blow-up set of solutions of a semilinear system with nonlocal diffusion. The other is to study the existence and stability of periodic solution of some competion model with nonlocal dispersal and periodic reaction. With the help of these research, we can compare our results to the results relate to local diffusion models which had been exstensively studied, and find some similarites and differences between local diffusion and nonlocal diffusion.

本项目拟研究几类带反应扩散方程组解的整体与非整体存在性等问题。我们所考虑的反应扩散方程中带有一种新型扩散模式:非局部扩散。近年来，数学家发现对于某些特殊的扩散模型，用非局部扩散来描述其扩散过程更为合理，因此建立了一系列非局部扩散模型，其中包括一些生物模型，图像处理模型，粒子模型等。现有的一些研究结果表明，非局部扩散和局部扩散具有很高的相似性。为了进一步理解非局部扩散的作用，我们拟考虑两类问题，一类是带非局部扩散的半线性方程组解爆破的条件，以及爆破解的大致形态。另一类则是周期资源影响下的非局部竞争系统的周期解存在性以及稳定性。由于局部扩散的相应理论已经发展得非常成熟，因此考虑此问题比较容易发掘局部扩散与非局部扩散的异同。一方面，我们希望建立一些平行于局部扩散模型的结论。另一方面，我们期待发现一些不同于局部扩散模型的现象，从而揭示非局部扩散与局部扩散的差异。

本项目原计划着重研究带有非局部扩散的反应扩散方程组的爆破解和周期解。但初步研究发现这一问题难度较大，在资助期内难以取得大的进展，于是转而考虑另一相关的问题：描述种群扩散的反应扩散竞争系统的长时间行为刻画。另外，由于跟德国数学家Michael Winkler交流之后对他研究的趋化模型方面很感兴趣，形成了合作关系，并且得到了德国洪堡基金的资助，从2017年5月-2018年9月主持人到德国同Michael Winkler进行趋化模型的研究，因此研究的重心心又部分的调整为带趋化性的种群扩散问题。虽然趋化性模型与原来所考虑的非局部扩散有所差异，但是两方面研究仍有相互促进之处。首先是趋化性模型的简化状态，也带有非局部结构。另外，两种扩散模式下，长时间行为的一些研究方法是相通的。 因此，实际上我们的主要研究内容是带有非局部扩散和趋化性扩散的竞争系统的长时间行为。. 我们的研究结果分两部分。关于种群扩散问题，我们解决了著名数学家Wei-Ming Ni的一个猜想，得到了一维情况下单种群的稳态解问题的total mass的最优上界估计。论文发表在Proceeding of AMS上，得到了审稿人的高度评价，被称为相关领域的绝对珍宝。另外，我们受Xiaoqing He和Wei-Ming Ni工作的启发，对于带非局部扩散的两物种弱竞争系统的长时间行为给出了完整刻画，论文发表在著名数学杂志Calculus of Variationi&PDE上。关于趋化性模型的研究，我们在前人的基础上给出了适用于趋化竞争系统的能量泛函结构，证明带趋化性的两物种竞争系统的长时间稳定性。论文发表在Indiana University Math. Journal上。我们的方法得到了同行的广泛关注，论文同时成为了高被引论文和热点论文。通过同行的评价和引用可以看到，我们的研究成果对于相关领域的发展有一定促进作用。