关于非局部扩散模型高效算法的研究

The non-local diffusion model is used to describe the diffusion process that does not satisfy Fick's law in complex media. However, due to its own non-local nature, the new model faces significant computational and storage bottlenecks in numerical simulations. To solve this problem, some fast algorithms are developed in recent years. However, the implementation of these fast algorithms has harsh conditions. 1) The solution to nonlocal models have to be smooth. 2) The kernel functions need satisfy the translation invariant property. These conditions greatly restrict the application of efficient algorithms. Therefore, we need to overcome these limitations and construct efficient algorithms, which can be extended to general nonlocal diffusion models.. Therefore, in the project we will focus on the following work: 1) for the non-local diffusion model with singularity or fracture, domain decomposition algorithms are introduced to construct a fast collocation method that allows local refinement. 2) for the nonlocal diffusion models with kernel functions are not translation-invariant, we develop a spectral collocation method and its numerical analysis.

非局部扩散模型被用来描述在复杂介质中不再满足Fick定律的溶质扩散过程。然而由于其自身的非局部性质，模型在数值求解时面临着重大的计算和存储瓶颈。针对这一问题，近年来一些高效算法相继被提出，然而这些高效算法的实施条件相当严苛：1）要求模型的解要光滑；2）要求模型的核函数要满足平移不变性。以上条件严重限制了高效算法的应用。因此，突破上述限制，构建可以适用于一般非局部扩散模型的高效算法成为模型的应用和发展的必要途径。. 基于此，本项目将研究以下内容：1）针对具有奇性、断裂的非局部扩散模型，引入区域分裂算法，构建允许局部加密的快速配置法；2）针对核函数不满足平移不变性的复杂非局部扩散模型，构建谱配置算法。

非局部扩散模型被用来描述在复杂介质中不再满足Fick定律的溶质扩散过程。然而由于其自身的非局部性质，模型在数值求解时面临着重大的计算和存储瓶颈。. 在本项目中，针对复杂非局部扩散模型，我们构建了一类Legendre谱配置算法，并给出详细的误差分析以及稳定性分析.相较于局部数值方法，只要保证求解区域规则以及解充分光滑的前提下，Legendre配置法在相同精度要求下只需要更少的未知量。这项研究为后续高精度谱配置法以及谱元法在非局部扩散模型中的应用奠定了基础。. 另外我们针对对偶影响区域非局部扩散模型，也被称为变影响区域的非局部扩散模型，证明了其质量守恒以及极值原理，并且建立了其适定性质以及对局部模型的收敛性。注意到对偶影响域相关项实际上在模型的相应变分形式中消失，我们随后提出了有限元离散化的数值解，这避免了在网格单元和对偶影响域之间的不规则相交区域上精确计算积分的困难。在研究中我们还进行了各种二维和三维数值实验，并证明数值格式的有效性。