多复变函数空间上的算子和全纯映照类的分析与几何性质

In this project, we mainly study the structure of the spaces of holomorphic functions on bounded symmetric domains or strongly pseudoconvex domains in several complex variables and the properties of operators on these spaces, induced by holomorphic functions or holomorphic mappings. We also study the spaces of holomorphic functions on complex Banach manifolds and the theory of relevant operators, including some problems on harmonic analysis and function spaces with vertor values. The grotwh theorem for the class of mappings with the parametric representation in several complex varisbles, the subordination representation of holomorphic mappings, and geometry property of null-homotopic holomorphic mappings,spirallike mappings on bounded balanced pseudoconvex domains, and invariance of analytic and geometric properties of such mappings under Roper-Suffridge operators are also studied. The researches on holomorphic functions, holomorphic mappings and the operators induced by them, and some main mappings in geometric function theory of several complex variables, are cross-subjects related to harmonic analysis, functional analysis, complex analysis and real analysis. They will have important theoretical significance in revealing further the essential differences of one complex variable and several complex variables and achieving the expansion of complex analysis from finite dimensions to infinite dimensions.

本项目主要研究多复变中有界对称域与强拟凸域上的各种全纯函数空间的结构，以及这些空间上由全纯函数或全纯映照所诱导的算子的性质；研究复Banach流形上的全纯函数空间及相关的算子理论，以及向量值调和分析与函数空间的一些问题。同时研究多复变数的具有参数表示的映照类的增长定理，研究全纯映照的从属表示和有界平衡拟凸域上的零伦全纯映照、螺形映照的几何性质，以及这些映照类在Roper-Suffridge算子作用下的分析性质、几何性质的不变性。多复变全纯函数与全纯映照以及它们所诱导的算子和多复变几何函数论中的重要映照类的研究是调和分析与泛函分析结合、复分析与实分析结合的交叉课题，对进一步揭示单复变与多复变的本质差别和实现从有限维复分析到无限维复分析的拓展均具有重要理论意义。

多复变全纯函数与全纯映照以及它们所诱导的算子和多复变几何函数论中的重要映照类的研究是调和分析与泛函分析结合、复分析与实分析结合的交叉课题。本项目主要研究多复变域上的各种全纯函数空间的特征和它们之间的关系，以及这些空间上由全纯函数或全纯映照所诱导的算子的性质；研究复Banach 流形上的全纯函数空间的结构，以及向量值调和分析与函数空间的一些问题。同时研究多复变数的具有参数表示的映照类的增长定理，研究全纯映照的从属表示和有界平衡拟凸域上的零伦全纯映照、螺形映照的几何性质，以及这些映照类在Roper-Suffridge 算子作用下的分析性质、几何性质的不变性。有代表性的工作：判定复合算子的本性正规性是相当困难的，即使是对于复单位盘的Hardy空间。当诱导符号是复单位球的分式线性自映射时，我们给出了作用于单位球的Hardy空间与加权Bergman空间上的某些复合算子是非本性正规的判据。对于球上加权Bergman空间与Hardy空间之间的复合算子，若两个诱导映射在边界足够光滑，且相应的复合算子具有紧差，我们给出诱导映射在单位球边界处性态的具体刻画。我们还揭示了复单位球上通常的p-Carleson测度与关于Besov-Sobolev空间的Carleson测度之间的区别。而对于多圆柱上没有内部不动点的全纯自映射，基于Julia-Wolff-Caratheodory定理，我们证明若附加一定的条件，则该映射可形变为线性映射。在多复变数的全纯映照方面，我们研究了几类Reihardt域上的Roper-Sufridge算子,结合几类新的全纯映射族，得到了这些映射族在Reihardt域上的不变性。利用创新的参数表示方法，我们得到了Reihardt域上的螺形映射的增长定理与偏差定理，以及次抛物星形映射的偏差定理。上述诸方面的结果对于进一步展示单复变与多复变的本质差别具有重要理论意义。