多复变全纯函数空间上的复合算子

课题的研究对象为多复变中加权Hardy空间上的复合算子，这类空间包含了经典Hardy空间、Bergman空间和Dirichlet空间。由于多复变复合算子的许多性质与单复变情形有很大的差异，并且多复变中一些函数理论还有待建立，这使得在多复变中复合算子的结果较少。本课题以单位球上全纯映射诱导的复合算子为主，致力于近几年有关复合算子性质的一些热点问题的研究，其中包括与其符号映射的动力学性质密切有关的循环性质；从算子理论角度讨论复合算子的谱和本性正规性；复合算子所构成集合的拓扑结构。这些问题将分两步完成，首先完善线性分式映射诱导的复合算子的性质，然后结合单位球上的线性分式模理论对一般复合算子的上述性质进行研究。

本项目的研究对象为多复变全纯函数空间上的复合算子。主要进展如下：在复合算子的谱结构方面，我们通过细化单位球上线性分式映射的分类，成功地描述了Hardy空间上椭圆和双曲线性分式复合算子的谱。结合Bayart在2010年给出了抛物线性分式复合算子的谱，这使得Hardy空间上所有线性分式复合算子的谱结构都得到了刻画。在研究复合算子的本质正规性过程中，我们巧妙地利用单位球上的一类函数列，通过估计复合算子和其伴随算子作用在这类函数列上的范数，得到自同构映射诱导的复合算子在Hardy空间和加权Bergman空间上本质正规的充要条件。为了研究上述空间上一般复合算子的性质，我们利用陈省身先生定义的计数函数，对这些空间上复合算子的本性范数的上界进行了估计，并由此得到有界性,紧性的一些条件。另外我们研究了Besov-Sobolev空间上Carleson测度与p-Carleson测度之间的关系，并利用这些结果刻画了空间上Riemann-Stieltjes算子和点态乘子的性质。