一类四阶非线性抛物型方程的数值分析

Many physical and scientific problems are described by one kind of fourth-order nonlinear parabolic equations such as Cahn-Hilliard equation for phase filel model, Cahn-Hilliard-Hele-Shaw(or Cahn-Hilliard-Darcy-Stokes) equation for coupled multi-physical phase model and epitaxial thin film models. The analysis and numerical simulation have always been difficult and tough since there exist high-order diffusions and strongly nonlinear terms. Four topics will be deeply studied in this project: 1) Wellposedness and numerical analysis for the new thin film models; 2) New high order schemes in time which have convex-concave splitting property; 3) Study of fast algorithms such as domain decomposition methods for multi-physical models and multigrid methods for phase field models and thin film models; 4) Finite element methods for the models, specially we will focus on the convergence analysis for nonlinear PDE and relative numerical analysis of non-conforming element.

一大类的物理科学问题由一类非线性四阶抛物型方程刻画：例如对应相场模型的Cahn-Hilliard方程、耦合多物理的相场模型的Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程(或Cahn-Hilliard-Darcy-Stokes方程)等以及薄膜生长模型等. 由于高阶的扩散项和强的非线项的存在, 其分析和数值模拟一直是个困难的问题. 本项目将在如下四个方面对这些问题进行深入研究: 1）新薄膜生长模型的适定性分析和数值分析; 2)新的有凹凸分离特性的高阶格式; 3）关于多物理模型区域分解算法和相场模型及生长模型的多重网格算法等快速算法的研究; 4）各种模型的有限元方法研究, 特别是非线性偏微分方程的收敛性理论分析以及非协调元方法求解的分析.

一大类的物理科学问题由一类非线性四阶抛物型方程刻画：例如对应相场模型的Cahn-Hilliard方程、耦合多物理的相场模型的Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程(或Cahn-Hilliard-Darcy-Stokes方程)等以及薄膜生长模型等. 由于高阶的扩散项和强的非线项的存在, 其分析和数值模拟一直是个困难的问题. 本项目在如下五个方面对这些问题进行深入研究: 1）建立新的模型及符合问题特性的数值方法，特别是新薄膜生长模型的研究和分析，带log型位势的保正性格式，非线性对流方程的稳定性分析; 2) 新的长时间能量稳定的高阶格式及数值分析; 3）关于多物理模型区域分解算法等快速算法及数值分析的研究，特别是稳定的解耦算法的设计；4）非标准有限元方法的构造与分析，特别是在非三角形四边形剖分下的有限元构造. 5）利用相场模型的分析方法解决一类变分半变分不等式的数值分析。