带两相Stefan边界条件的反应扩散方程的定性研究

In the field of population ecology, strong competition between species may lead to the spatial segregation phenomenon of the habitats. In mathematics, reaction-diffusion equations are used to describe population competition and the two-phase Stefan boundary conditions are used to describe the evolution of the interface (free boundary) between different species. This project focuses on the study of the ecological model with strong competition which has two different species in one dimension, including: (1) two-phase Stefan conditions are satisfied between two species, and one-phase Stefan condition is satisfied in the interface of the species and the outside. We deal with the asymptotic behavior of the solutions for the equations with monostable, bistable types of nonlinearities, including the asymptotic spreading velocity of the free boundaries; (2) the two species are defined in a fixed interval and two-phase Stefan conditions are satisfied between them. We study blow-up properties of the solutions and the shape of the blow-up solutions. The study of this project may propel the understanding of the competitive population dynamics, and has some theoretical significance and application value.

在种群生态学领域，物种之间的强竞争有可能造成栖息地分离现象。在数学上人们使用反应扩散方程组描述种群的竞争，并用两相Stefan条件描述物种间交界面(自由边界)的演化。本项目拟研究一维空间含有两个物种的这类强竞争模型，包括：(1)两个物种之间满足两相Stefan条件，它们与外界交界处满足单相Stefan条件，特别是对于具有单稳定、双稳定等典型非线性项的方程，详细阐明解的渐近行为，包括自由边界的渐近传播速度等；(2)两个物种分布在一个固定区间中，它们之间满足两相Stefan条件，研究解的爆破性质以及爆破解的形状等。本项目的研究可以推进人们对于竞争种群动力学的了解，有理论意义和应用价值。

本项目主要研究了如下三方面的内容：1、竞争方程组的空间分离极限和自由边界问题，2、带有Fisher-KPP型非线性项的强竞争模型解的渐近行为，3、具有结构化时变扰动和一般扰动的边界控制波动PDE系统网络的领导-跟随同步控制器设计，以及带有时变扰动边界控制的反稳定波动方程网络同步控制器设计 ，这三个研究内容都属于交叉学科领域，我们旨在用数学的方法研究生态学和控制领域中的问题，获得一些具有实际意义的数学结果。其中第一个问题来源于反应扩散方程在生态学种群竞争领域中的应用，第二问题来源于边界固定的强竞争生态模型，我们将原始的强竞争模型的固定边界改进为单相Stefan自由边界，这样更加符合物种的栖息地会随时间发生改变这一客观实际，第三个问题来源于波动方程在控制领域的应用。对于第一个问题，我们从一个一般的竞争方程组出发，利用奇异极限分析的方法，推导出了带两相Stefan自由边界条件的强竞争模型。这为研究Stefan边界条件提供了理论基础。对于第二个问题，我们给出了判断解收敛性的一些充分条件，对于第三个问题，我们分析并证明了无穷维系统的收敛性和闭环系统的适用性，并且针对问题三，我们都给出了数值仿真结果，进一步验证了理论结果的有效性。这些结果对于进一步了解和认识种群的动力学性质以及推动波动方程在控制器设计领域的研究有重要的理论指导意义和实际应用价值。