带有Stefan型自由边界条件的反应扩散方程解的定性性质

The project is concerned with reaction-diffusion equation with Stefan type free boundary conditions, which come from the fields of ecology and so on. A few known results show that, comparing with the Cauchy problems and the problems in fixed domains, these problems may have different and richer phenomena, and can give more reasonable explanations on some facts.. We firstly propose some reasonable free boundary conditions according to ecological background, then we study the qualitative properties of solutions of reaction-diffusion equations with new free boundary conditions. Especially, for reaction-diffusion equations with bistable and monostable types of nonlinearities, we mainly study the following respects: (1) the asymptotic behavior of solutions and free boundaries, and the asymptotic spreading speed of free boundaries when they expand; (2) types of stationary solutions and the convergence of bounded solutions; (3) the criterion of shrinking and expanding of free boundaries.

本项目拟研究来源于生态学等科学领域中带有Stefan型自由边界条件的反应扩散方程，目前已有的几个结果显示，这类问题与Cauchy 问题、固定区域中的问题相比有不同的、更丰富的现象，对一些应用领域中事实的解释也更加合理。. 我们首先根据生态学等科学领域中的现象提出合理的自由边界条件，再研究带有新自由边界条件的反应扩散方程解的定性性质，特别对于具有双稳定和单稳定非线性项的反应扩散方程，主要研究以下几个方面：(1)解和自由边界的渐近行为以及自由边界扩张时的渐近速度；(2)平衡解的类型和有界解的收敛性；(3)自由边界收缩和扩张的判别标准。

我们首先根据生态学等科学领域中的现象提出合理的自由边界条件，再研究带有新自由边界条件的反应扩散方程解的定性性质，对于具有单稳定非线性项的反应扩散方程，主要研究了以下几个方面：(1)有界解和自由边界的渐近行为；(2)自由边界扩张时渐近速度的估计；(3)初值和空间非均匀性对解渐近行为和自由边界渐近速度的影响。. 所研究的问题与Cauchy问题、固定区域中的问题相比有不同的、更丰富的现象。所得的结果对一些应用领域中事实的解释更加合理。.本项目的主要内容可以分为以下两个方面：. （I）一维空间中的问题。主要研究了带有Stefan型自由边界条件的Fisher-KPP方程，两边自由边界条件中的常数是不同的。所研究的问题可以代表入侵种群的传播性，其中自由边界代表种群传播的锋面。我们主要研究了有界解的渐近行为，这里有两个常数a和b(0<a<b)，在研究解的渐近行为时起到很关键的作用, 即，(1) 设左边界常数小于a并小于右边界常数,右边界常数小于b时，可以得到三分性结果：(i)扩散现象:两个自由边界分别扩散到正负无穷，解收敛到1；或者左自由边界扩散到负无穷远而右自由边界不扩散并且解收敛到1；或者左右自由边界都扩散到负无穷远，两个自由边界的距离变大并且解在移动框架下收敛到1；（ii） 消逝现象: 在有限时间内解收敛到0，自由边界缩为一个点；(iii) 临界状态：解收敛到具有紧支集的行波，并满足自由边界条件，两个自由边界条件都趋于负无穷但是距离趋于某个确定的常数。(2) 当左或者右自由边界条件中的常数大的时候，只有消逝现象发生。. （II）高维空间中的问题(边界条件空间非均匀)。研究了带有自由边界条件的Logistic方程，使用的边界条件来自生态学中的现象。通过研究问题的径向对称解的渐近行为来描述入侵种群的传播。我们将得到三分性结果: 扩散(解收敛到定义在半空间上的平衡解)，临界状态(解收敛到具有紧支集的平衡解)，消逝现象(解在有限时间内收敛到零)；也得到了二分性结果(扩散、消逝)。另外,当扩散现象发生的时候，我们给出了渐近速度的精确估计。