带自由边界条件的反应-扩散-对流方程的定性研究

In this project we study the population dynamics in advective environments, where the moving boundaries of the population habitat satisfy Stefan condition. Around the advection term and free boundaries, we mainly study the following three problems. First, we investigate the qualitative properties of solutions of reaction-diffusion-advection equations with Robin and free boundary conditions. Especially, for the problem with bistable type of nonlinearity, we will give the complete qualitative analysis of solutions, and when spreading happens, the precise estimates of the asymptotic speed and profiles of spreading fronts. Second, in the spatial-temporal inhomogeneous environment, we consider the free boundary problem of reaction-diffusion-advection equation. We will focus on the existence and qualitative properties of periodic traveling semi-wave solutions or almost periodic traveling semi-wave solutions (which are the generalized traveling wave solutions defined on the half-line). Last, we study the qualitative properties of solutions of reaction-diffusion-advection equations with free boundary conditions in higher dimensional space. We mainly consider the regularity of free boundaries, and the convergence of solutions. The above three problems are the high-light in the research field of the nonlinear parabolic partial differential equations. Moreover, by the influence of the advection term and free boundaries, the problems we pose here are not easy.

本项目研究具有对流的环境中生物种群的传播问题, 其中种群栖息地的活动边界满足 Stefan 条件. 围绕对流项和 自由边界, 我们主要研究以下三个问题: 首先, 研究带 Robin 和自由边界条件的反应-扩散-对流方程解的定性性质, 侧重考虑非线性项为双稳态型情形, 拟给出解的渐近行为的完整分析, 以及当扩散发生时扩张前沿的渐近速度和渐近形状的精确估计; 其次, 考虑时空非均匀环境中反应-扩散-对流方程的自由边界问题, 研究该问题周期或几乎周期的广义半波 (定义在半轴上的行波) 的存在性和定性性质; 最后, 研究高维空间中反应-扩散-对流方程的自由边界问题解的定性性质, 重点考虑自由边界的正则性以及解的收敛性. 以上三个问题都是目前抛物型偏微分方程领域的研究热点. 另外, 由于对流项和自由边界的加入, 使得研究这些问题具有相当的难度.

我们研究了具有对流的环境中生物种群的传播问题, 其中种群栖息地的活动边界满足 Stefan 条件. 围绕对流项和自由边界, 我们研究了以下四个问题. 首先, 我们给出了在对流环境中, 当扩散发生时, 种群扩张速度的精确描述. 我们研究发现两条自由边界的相对渐近速度依赖于对流强度: 弱对流情形比无对流情形更有利于种群栖息地的扩张; 相反, 种群在强对流环境中向外扩张比无对流情形困难. 其次, 我们研究了带衰减率的自由边界问题解的渐近行为. 我们假设右衰减率比左衰减率大, 即种群向右扩张受到的阻力比向左扩张受到的阻力大. 我们得到, 当左边处于强衰减的时候, 任意初值出发的解都会发生消逝现象(即有限时间, 两条自由边界回缩成一个点, 解一致趋于0); 当左右都是弱衰减的时候, 解会发生三分性现象, 即解要么发生扩散现象(即两条自由边界的相对距离趋于无穷大, 解在某个移动框架下局部一致趋于1), 要么处于临界状态(解一致收敛于向左移动的具有紧支集的行波), 要么发生消逝现象; 当左边是弱衰减右边是强衰减的时候, 所有解都会发生消逝现象. 除了收敛性结论外, 我们还对扩散发生时两条自由边界的渐近速度以及前锋的渐近形状给出了精确的估计. 当扩散发生时, 左自由边界最终向左移动, 右自由边界的最终移动方向取决于右衰减率的大小(非常弱时向右, 临界状态趋于固定点, 一般弱时向左). 但不管怎样, 扩散发生时两条自由边界的最终相对距离趋于无穷大. 此外, 扩散发生时解在两条自由边界的附近(前锋)收敛于两个不同的半波(定义在半轴上的单调行波). 然后, 我们还研究了带衰减率和增长率的自由边界问题解的渐近行为. 我们考虑种群向两端扩张分别收到阻力和助力的影响. 在左右阻力或助力不同的情况下，我们得到了丰富的数学结果. 最后, 我们还研究了在对流环境中带衰减率的自由边界问题解的渐近行为. 我们得到强对流和强衰减都不利于种群的扩张.