生态学和传染病学中的自由边界问题

In this project we will systematically investigate some free boundary problems which describe the propagation phenomenon of species in ecology and epidemiology. . . In the first part, we will first discuss the free boundary problems of the competition and predator-prey models with advection terms where only one component has free boundary or two components have the same free boundary. And then, the competition and predator-prey models with advection terms and two different free boundaries for the two components will be studied. We are interested in the uniform estimates with respect to (t,x), spreading-vanishing dichotomy, conditions for spreading and vanishing, asymptotic speeds of free boundaries, asymptotic spreading speeds and long time limits of the two species. .. In the second part, we will study the free boundary problems arising from epidemiology. The main purpose is to obtain a “basic reproduction number” which describes spreading and vanishing of the disease, and to investigate the asymptotic speed of the free boundary, asymptotic spreading speed and long time limit of the infected population. We will accurately describe how the prevalence of diseases is influenced by the infection rate, initially infected population, initial epidemic area, population mobility, spreading rate of the free boundary and other factors.

本项目拟研究用于刻画生态学和传染病学中传播现象的自由边界问题。在第一部分，我们首先研究带有对流项并且只有一个分量带自由边界或者两个分量带有相同自由边界的竞争模型和捕食模型的自由边界问题，其次研究带有对流项和两个分量带有不同自由边界的竞争模型和捕食模型的自由边界问题。探讨解关于(t,x)的一致估计、蔓延和消失的条件、自由边界的渐近速度、两个物种的渐近传播速度和长时间极限。在第二部分，我们研究来源于传染病学的自由边界问题，主要目标是给出“再生数”，用于刻画传染病的暴发和消失，并研究自由边界的渐近速度、患病人群的渐近传播速度和长时间极限。精确刻画疾病的传染强度、初始患病人数和分布范围、人口的流动性以及自由边界的演化系数等因素对于传染病的流行和暴发的作用。

本项目系统研究了几类来源于生态学和传染病学的自由边界问题。1. 局部扩散方程的自由边界问题（带有非局部反应项的SIS 传染病模型、带有不同自由边界的互惠模型、常微和偏微耦合的传染病模型及趋化模型），给出了整体解的存在唯一性、正则性和一致估计，蔓延和熄灭的判据，解(u,v)的长时间性质和渐近传播速度，以及两个自由边界(g,h)的渐近速度的估计。特别地，对于变系数的自由边界问题，给出了解的存在唯一性的一般证明方法，弥补了解的局部存在唯一性的证明中错误地使用经典的嵌入定理导致的漏洞；发现了更加合理、切合实际的基本再生数。2. 非局部扩散方程组、非局部扩散和局部扩散耦合的方程组、非局部扩散方程与常微分方程耦合的方程组的自由边界问题。给出了整体解的存在唯一性；对于弱竞争模型和弱捕食模型，证明了自由边界不能成功蔓延到全空间时对应的解分量一定灭绝，蔓延和熄灭的判据，解(u,v)的大范围长时间性质和渐近传播速度，以及两个自由边界(g,h)的渐近速度的估计。虽然这些结果与局部扩散问题的结果类似，但是处理方法和手段完全不同。其过程包含许多新的思想、方法和技巧。3. 带有季节性结构和不同自由边界的竞争模型的自由边界问题。.. 结合研究生培养，还研究了：趋化模型的整体解的存在性和有界性，反应扩散方程组解的渐近性质与分支、非常值平衡解的全局渐近稳定性，带有季节性结构的竞争模型连接(0,0)点与正周期解的行波解。