几类带阶段结构捕食模型和传染病模型的自由边界问题的研究

To describe the spreading and extending of the species, applying the free boundary problems can make up the defects from applying the initial value problems and the traveling wave solutions in some degree. To study the free boundary problems not only have some important practical background, but have some importance theoretically and further have high degree of difficulty. The project is to introduce a free boundary into some stage-structured prey-predator models and infectious diseases models with the new or invasive species and infectious diseases, that is to study some free boundary problems of reaction diffusion equations. We will use the straightening transformation, compression principle and prior estimates to discuss the existence and uniqueness of global solutions, will establish suitable comparison principle and construct upper-lower solutions on the condition of the free boundary to prove spreading-vanishing dichotomy for the invasive species and infectious diseases, will apply the asymptotic analysis and modified iteration method to consider the asymptotic properties of solutions, and will construct some auxiliary functions to discuss the sharp criteria for spreading and the asymptotic spread speed. Through the study of the project, we attempt to improve and develop the above methods, obtain some distinctive and innovative research achievements, reveal the effect of structure on the spreading of species, explain some spreading phenomena of the infectious diseases.

利用自由边界问题来描述外来入侵物种或传染病的蔓延和传播，在某种程度上可以弥补利用行波解和初值问题研究蔓延和传播带来的缺陷，不仅有重要的应用背景，而且也有重要的理论意义和较大的难度。本项目拟将自由边界引入到含外来入侵物种的阶段结构捕食模型和传染病模型中，研究几类反应扩散方程组的自由边界问题。拟利用拉直变换、压缩映像原理和先验估计探讨解的全局存在唯一性、在自由边界条件下建立适合的比较原理，构造上下解证明入侵物种或传染病蔓延和熄灭的二择一性质、利用渐近分析、修正迭代方法等讨论解的渐近性质，构造辅助函数给出蔓延的判别准则以及蔓延的渐近速度。通过本项目的研究，力图对上述方法有所改进和发展，取得一些有特色和新意的研究成果，揭示阶段结构对物种蔓延的影响，解释传染病传播的一些自然现象。

在生态学的理论研究中，反应扩散方程组的研究能够帮助人们更好地理解种群内部竞争和种群之间的关系，因此被广泛用来描述生物种群的时空模式。考虑到入侵物种和染病者的生活栖息地一般会随着时间发生变化，因此利用反应扩散方程组的自由边界问题来描述外来物种和传染病的蔓延和传播更具有现实意义。由于耦合的非线性项使得比较原理对在原方程基础上构造的上下解不成立，另外，自由边界的引入使得很多经典的方法不再适用。从而使得相关问题的研究变得十分困难，因此对其研究是具有重要意义的课题。本项目研究反应扩散方程组的自由边界问题和相关的动力学性质。主要研究内容包括带阶段结构种群模型的自由边界问题、捕食模型和肺结核传播模型的动力学行为。我们利用拉直变换、压缩映像原理和先验估计探了讨解的全局存在唯一性、建立了适合的比较原理，构造上下解证明了入侵物种蔓延和熄灭的二择一性质、利用渐近分析讨论了解的渐近性质，构造辅助函数给出了蔓延的判别准则。揭示了阶段结构对物种蔓延的影响，解释传染病传播的一些自然现象。