反应扩散方程组的自由边界问题

We will apply the free boundary problems to describe the spreading and extending of the species, which can make up the defects causing by traveling wave solutions in some degree. The study of free boundary problems not only has important practical background and theoretical significance, but also have greater difficulty. This project is to study free boundary problems for some reaction-diffusion systems. Firstly, we shall investigate some free boundary problems for the prey-predator and competition models. In this part, we shall discuss the existence and uniqueness of solution, spreading-vanishing dichotomy, asymptotic behavior, sharp criteria for spreading and vanishing and spreading speed. Secondly, we shall study the global existence and blow-up in finite time of solution, conditions for spreading, asymptotic behavior of global solution, and the properties of blow-up solution (blow-up sets, blow-up time and blow-up rates) for those free boundary problems of reaction-diffusion systems where the reaction terms are exponential functions, power functions, nonlocal or localized functions. We try to develop and improve several methods, such as the a priori estimate, regularity, asymptotic analysis, iterative technique, comparison principle, constructions of upper-lower solutions and auxiliary functions. To get a series of new noticeable and significant achievements, which are used to reveal and explain some important natural phenomena.

利用自由边界问题描述物种的蔓延和传播，在某种程度上可以弥补用行波解研究蔓延和传播带来的缺陷，不仅有具体的应用背景，而且也有重要的理论意义和较大的难度。本项目拟研究反应扩散方程组的自由边界问题。首先研究捕食模型和竞争模型的自由边界问题，探讨解的存在唯一性、蔓延和熄灭的二择一性质、解的渐近性质、蔓延准则和渐近蔓延速度。其次研究非线性反应项是指数函数、幂函数、非局部化和局部化函数的反应扩散方程组的自由边界问题，讨论解的整体存在性和有限时刻爆破，蔓延发生的条件和整体解的渐近性质，以及爆破解的爆破性质（爆破点集的结构、爆破时间和爆破速率的估计）。力图在先验估计、渐近分析、迭代、比较原理、上下解和辅助函数的构造等方法上有所改进和发展，取得一系列有特色和新意的研究成果，揭示和解释一些重要的自然现象。

本项目系统研究了几类来源于生态学和传染病学的自由边界问题。1. 捕食模型和竞争模型（常系数和变系数的L-V模型、比例依赖模型、L-G模型）带双重自由边界、单自由边界（一端固定）和不同自由边界的自由边界问题。给出了解的存在唯一性、正则性、蔓延-熄灭的二择一性质、蔓延准则和解的部分渐近性质。发现了处理这类问题的一些新技巧和新方法。例如，当蔓延区间有限时，建立了对应分量趋于零的普适方法；建立了极具技巧的迭代格式用于研究解的渐近性；构造精细的辅助函数，给出了蔓延-熄灭的二择一性质和蔓延准则。特别地，对带有不同自由边界的捕食和竞争模型，在蔓延发生的情况下给出了解分量的渐近性质、渐近传播速度的估计和自由边界的渐近速度的估计，发现了一些重要的传播现象和结果。对于变系数的情况，发现了解的唯一性条件（系数函数关于空间变量是Lipschitz连续）。2. 通过研究方程式的特征值问题和周期特征值问题的新性质，成功地研究了系数变号的变系数和周期系数logistic方程的自由边界问题，在较弱的条件下得到了较为精细的深刻结果。3. 研究了一类带有自由边界的传染病模型，发现了疾病爆发和消失的条件。. 结合研究生培养，还研究了：反应扩散方程组正平衡解的存在性、分支和稳定性，Hopf分支；带强Allee效应的L-G捕食模型，得到了解的稳定性和渐近性的系统结果，以及时间周期解分支和非常数正平衡解分支。. 受本项目的资助，2014年至2017年共发表论文35篇（全部被SCI检索，其中有6篇是高被引论文，1篇是热点论文），完成了英文著作Nonlinear Parabolic Equations的初稿。