四维Lorentz空间的零中曲率类空曲面的整体几何

四维Lorentz空间中的零中曲率类空曲面，是三维欧氏空间的极小曲面和三维Lorentz空间的极大曲面的推广。这类曲面与Lorentz共形几何中的广义Willmore曲面以及Laguerre几何中的Laguerre极小曲面有自然的联系。特别地，这引导我们去关心这类曲面的整体性质。关于经典极小曲面已经有众多结果，如Bernstein定理和Osserman关于全曲率有限的完备极小曲面的理论。在极大曲面的研究领域也已经有了一系列有趣的发现。但在四维Lorentz空间的一般情形还很少系统深入的研究。本课题期望填补这一空白，推广Osserman的理论结果，并应用于有关Willmore曲面以及Laguerre极小曲面的研究。我们还打算构造一些新的完备零中曲率类空曲面的例子，并且具有所谓"有限全曲率"，从而对三维欧氏空间中的类似结果给出有趣的对照和补充。

本研究项目历时三年，实现了预定方向上的突破，发现了四维Lorentz空间中的稳态曲面（stationary surface，即零中曲率类空曲面）与三维欧氏空间的重大不同。第一，我们指出Osserman定理的结论不适用于这一类曲面，找到了全曲率有限但高斯映射在末端有本性奇点的一族例子。第二，稳态曲面允许一类新型的末端，称为奇异端，并且可以引入拓扑指标，建立其与全曲率的联系（Gauss-Bonnet型公式）；与此同时，为了保证曲面为正则浸入，需要满足一个不易求解的复方程。第三，这类曲面有许多在四维Lorentz空间中没有自交，是嵌入的，这一点可以通过我们构造的广义Enneper曲面等来体现，这说明原三维欧氏空间中的一系列唯一性定理的直接推广是不成立的。另一方面，我们在其它一些方面成功进行了拓展。对于经典例子如悬链面、正螺面、Enneper曲面、k-noids、Meeks的莫比乌斯带、Chen-Gackstatter曲面，我们都给出了自然的推广。我们证明了全曲率达到最小值4π的代数型完备稳态曲面只有推广的悬链面和Enneper曲面。对于不可定向极小曲面的理论，我们将其推广到稳态曲面，得到了类似（但更困难）的全曲率下界估计。对于亏格1的稳态曲面，我们讨论了Chen-Gackstatter曲面的形变族的存在性、唯一性、嵌入性问题。总的来说，课题的预定目标基本达到。研究方法上主要是应用传统的黎曼面和复函数工具，以及Weierstrass表示，在这些方面我们已经有深入理解。