多元解析函数的q-级数展开及应用

q-series is an important research topics in comtemporary mathematics, which plays an important role in number theory, combinatorics, theta functions, hard hexagon model, representation Theory， quantum algebra, quantum calculus, modular forms and orthogonal polynomials. Over the past 20 years, the applicant has done a series of works on q-series and theta function identities. More than 50 research papers have been published in prestigious mathematical journals. The research results have been peer recognition and praise. My joint work on Ramanujan-Sato type series has been included by Wikipedia . In December 2012, I participated as the sole representative of China, the international conference "The Legacy of Srinivasa Ramanujan" celebrating Ramanujan the 125th anniversary of the birth, held at University of Delhi, India, and gave an invitation talk. . In 2002, I proved that a general q-rational function expansion formula for analytic functions in single variable, which includes many important classical q-formulas as special cases. Eminent mathematician Lascoux and Chu among others called this expansion as "Liu's expansion formula". . This project plans to continue our study in q-series, we will expand our q-series expansion formula for analytic functions in single variable to a q-series expansion formula for analytic functions in several variables. Some applications of this expansion formulas to number theory and combinatorial analysis will be discussed.

q-级数是组合分析的重要研究课题, 它在数论，函数论， 组合论，模形式理论，表示论及量子代数等数学分支中扮演着重要的角色。20多年来，申请人在q-级数和Theta函数的研究上做了一系列的工作，在《Advances in Mathematics》及《Ramanujan Journal》等刊物上发表了50多篇论文， 论文被引用600多次。 研究结果多次得到同行的正面肯定, 曾20多次应邀赴海外进行学术交流。 关于Ramanujian-Sato级数的研究工作已被维基百科收录。2012年12月作为我国的唯一代表应邀在纪念Ramanujan 诞辰125周年的国际会议“The Legacy of Srinivasa Ramanujan”上做邀请报告。本项目计划在申请人原有关于q-级数工作的基础上，研究多元解析函数的q-有理展开问题，并讨论所得结果在数论和组合论中的应用。

1. Askey-Wilson 多项式是已知的最为重要经典正交多项式，Nassrallah-Rahman 积分是经典Gauss超几何函数的Euler积分表示的q-模拟。利用关于q-级数的一个变换公式和Nassrallah-Rahman 积分， 我们证明了一个含有12个参变量的q-beta积分。 该积分公式包含若干q-beta积分作为特例。 该积分公式还使得我们导出了一个双重q-级数变换公式。..2. 利用Sears变换我们证明了一个关于双重q-beta 积分公式的一个降级公式。利用该降阶公式我们导出了一个双重q-积分公式，进一步我们利用该双重q-积分公式导出了一个以Askey-Wilson积分公式为特例的q-beta积分公式。 利用q-偏微分方程和该双重q-积分公式我们还推广了Nassrallah–Rahman 积分。我们的推导过程不依赖Askey-Wilson积分公式和关于q-Hermite 多项式的正交关系。..3. 利用多变量复变函数理论和q-分析理论，我们证明了一个关于满足一组特定的q-偏微分方程组的解析函数的展开定理。利用该展开定理，我们推广了Andrews关于q-Lauricella 函数的变换公式。 ..4. Ramanujan 互反定理可看作是Jacobi 三重乘积的一个三变量推广。 利用q-偏微分方程理论我们将Ramanujan 互反定理推广成一个含有7个变量的互反定理。 利用相同的方法，我们也把Askey-Wilson积分公式推广成了一个含有7个参数的q-积分公式。..5. 利用多变量复变函数理论我们证明了一个关于双边元Hermite多项式的展开定理，并利用该展开定理我们建立了一套系统推导涉及双边元Hermite多项式恒等式的方法。利用该展开定理，我们很容易地导出了关于双边元Hermite多项式的 Mehler 公式， Nielsen公式，Doetsch公式， Weisner公式， Carlitz公式及加法定理。