基于超几何函数、超几何q-级数函数类的关于参数的偏导数性质、快速计算及其应用

The generalized hypergeometric function and the generalized hypergeometric q-series are two kinds of important special functions. The special functions are well known for their applications in statistics, number theory and orthogonal polynomials. Moreover, they are also widely used in many fields such as engineering, physical problems (e.g. quantum mechanics, electrodynamics, modern physics, classical mechanics etc.) and heat transfer and cooling and the dual integral equations. In particular, it has been widely used in many fields of electronics and information systems. Therefore, these two kinds of functions have attracted the attention of many scholar and the research content is quite rich.The main concerns of this study are as follows: (1) Based on the importance of the two kinds of functions, we discuss the high accuracy and fast computation of these functions and their derivatives. Many integrals with logarithmic functions can be expressed as the partial derivatives of hypergeometric functions. Therefore, some numerical integration can achieve high accuracy and fast computation by the partial derivatives of the two kinds of special functions. (2) Recursive and transformation formulas of the partial derivatives of the two kinds of functions at special points are obtained. (3) We study the properties of (basic) hypergeometric orthogonal polynomials directly from the two kinds of special functions, such as the method similar to study the multiple and transformation formulas of the orthogonal polynomials. (4) For the extension, incomplete hypergeometric function and hypergeometric q- series, the above three aspects are elso studied.

超几何函数和超几何q-级数是两类非常重要的特殊函数。在统计分布、数论和正交多项式中有着广泛的应用。在工程、物理问题（例如，量子力学、电动力学、现代物理学、经典力学等）以及热传导和冷却与对偶积分方程方面也有广泛的应用。特别是在电子学与信息系统中的诸多领域有着广泛的应用。这两类函数一直受到研究者的关注，就其研究内容相当丰富。本项目研究主要关心如下几个方面: 1) 基于两类函数如此重要，我们讨论它们本身以及关于参数的偏导数数(非数值导数)的高精度快速计算。许多含有对数函数的积分可以表示成超几何函数的偏导数，这些数值积分可以通过两类函数的偏导数表示，实现高精度快速计算。2) 两类函数在特殊点处偏导数的递推公式和变换公式。3) 直接从两类函数研究(基本)超几何正交多项式的各种性质，如类似于正交多项式的多重公式和变换公式。4) 对扩展、不完全超几何函数和超几何q-级数类研究上面三个方面的相应内容。

超几何函数和超几何q-级数是两类非常重要的特殊函数。它们在统计分布、数论和正交多项式中有着广泛的应用。另外在工程、物理问题（例如，量子力学、电动力学、现代物理学、经典力学等）以及热传导和冷却与对偶积分方程方面也有广泛的应用。特别是在电子学与信息系统中的诸多领域有着广泛的应用。这两类函数一直受到研究者的关注，就其研究内容相当丰富。本项目主要研究内容包括以下方面: 1) 关于超几何函数以及扩展超几何函数的参数导数，建立了高精度快速递推算法。许多含有对数函数的积分可以表示成超几何函数的的参数导数，这些数值积分可以通过超几何函数的参数导数快速递推算法实现高精度快速计算。2) 对于一类超几何函数和超几何q-级数类建立了变换公式，并且改进了Gamma函数的Paul Turán不等式，而且是最佳估计。3) 许多特殊函数可以用Gamma函数、Beta函数和超几何函数表示，基于承担的国家基金(61379009)的成果和本项目研究的结果基础上，实现了这些特殊函数的相关参数导数的高精度快速计算，例如Bessel函数类关于阶的高阶导数高精度快速计算。4)讨论了几类含有参数的扩展Euler和，给出它们的特殊函数表示，而且我们实现对它们的数高精度快速计算。5) 对于Gelfand边值问题的多解性中参数的确定，从10^(-3)提高到10^(-14), 通过数值方法发现了一些规律，为理论研究提供依据。6) 给出负整数幂函数的分数阶导数的补充定义，并讨论了相关性质和应用，进一步的给出一类差分方程组解的振动判别准则。