非一致双曲系统稠性及相关问题研究

It was shown in the 1960s that uniformly hyperbolic systems are not dense in the space of dynamical systems. This brought about the naissance of the notion of nonuniform hyperbolicity. Using the concept of Lyapunov exponents, Pesin theory of nonuniformly hyperbolic systems (characterized by all the Lyapunov exponents being non-null for some invariant measure) gives us a rich information about geometric properties of the system. In particular, the points with all Lyapunov exponents non-zero have well-de?ned unstable and stable invariant manifolds. These tools are the base of most of the results on dynamical systems nowadays. Thus it is of utmost importance to detect when the zero exponents can be removed by perturbations. Precisely, we want to study if the non-uniformly hyperbolic systems are dense in all C^1 conservative systems, or in all C^1 symplectic systems. The other basic topic in dynamical systems that much work on perturbation of Lyapunov exponents concerns is when we can distinguish all the Lyapunov exponents. That is, the spectrum is simple. All existing work are concentrated for cocycles. It is natural to ask whether the di?eomorphisms with simple spectrum form a dense subset among all C^1 volume preserving diffeomorphisms in C^1 topology. We are working for these two problems.

十九世纪70年代，人们发现一致双曲系统在所有动力系统中并不是稠密存在的。这一认知导致了非一致双曲系统概念的诞生。运用Lyapunov指数概念，Pesin建立了非一致双曲系统（即在一个全测集上Lyapunov指数均非零的系统）上的Pesin理论，告诉大家非一致双曲系统承袭了一致双曲系统的很多好的几何性质，如稳定流形和不稳定流形存在性。因此，考察如何扰掉系统的零Lyapunov指数是尤为重要的。具体地说，我们欲研究非一致双曲系统在所有C^1保体积微分同胚中是否稠密，以及其在所有C^1辛系统中是否稠密。 另一个与指数扰动相关的核心问题是，如何把系统的Lyapunov指数扰开。也就是说，做小扰动使得系统具有单谱性质，即各个指数皆为1重。这个问题的已有研究主要都是考虑线性上链的。因此，我们欲研究这种具有单谱性质的微分同胚在所有C^1保体积微分同胚中是否稠密。 本项目主要探讨上面两个稠密性问题。

目前，我们在Lyapunov指数扰动和周期轨性质两方面都有了更深入的研究，对非一致双曲系统在Cr保体积微分同胚与Cr辛映射中的稠性问题有了阶段性的成果，对中心指数单谱的映射有了新的发现，对非一致双曲系统上非正则周期点的性质、相关大偏差问题，以及周期轨条数的指数增长率与测度熵关系，熵映射的上半连续性等都得到了很好的结果。..对于 Lyapunov 指数的扰动、非一致双曲系统的稠密性问题，我们得到了 Pesin 一个猜测的部分肯定结果，即在一个正测集上指数全非零的系统在全体 Cr保体积微分同胚中C1稠密。同时，我们验证了正熵系统构成一个稠密集合。Cr辛微分同胚中结论类似。 . .除了双曲性、 Lyapunov 指数，熵是另一个描述系统复杂性的指标。熵映射描述了不同变换之间熵的变化情况，即系统复杂性的变化情况。针对一类弱双曲系统，我们研究了熵映射的上半连续性。进一步，我们观察了支撑在这个非一致双曲集的不变测度所相应的饱和集，证明了饱和集是非空的，稠密的。 . .在对保持辛结构的部分双曲系统的研究中，我们发现非一致双曲系统在具有 accessible、pinched、bunched 和中心丛 2 维性质的子集合内是Cr开的。而且关于 中心指数连续的映射是这个集合中的Cr开稠集。此结果适用于保体积微分同胚情形。这些结果也给Viana的一个猜测提供了合理性依据。..另外，我们考察了极小真子集与子集上的稳定流形之间的关系。我们还研究了非一致双曲系统上非正则周期点的性质，并验证了这些周期点上的一个开的大偏差性质。我们也证明了逼近给定不变测度的原子测度所支撑的周期点，其指数增长率恰好等于这个不变测度对应的测度熵。