非双曲系统的动力学、遍历性及其相关的维数问题

We consider the dynamics and ergodicity for nonhyperbolic dynamical systems and related problems for dimension of dynamical systems. We mainly study the existence of SBR measures for the partially hyperbolic systems with center direction splitted into some dominated one-dimension sub-bundle; and the existence of SBR measures for systems with continuous splitting E^{cu}⊕E^{cs} for which E^{cs} has no positive exponents, and E^{cu} is nonuniformly expanding for a positive Lebesgue set; and the existence and uniquness of SBR measure for the partially hyperbolic systems with center which have positive exponents and negative exponents with respect to u-gibbs measures. We also consider the problems of the estimate of upper-stable dimension for hyperbolic set, which was consider by Palis and Viana; and the problems of continuity for upper-stable dimension on systems. These play very important roles on the study for homoclinic tangency.

本项目主要考虑非双曲系统的动力学、遍历性以及相关的动力系统的维数问题。主要研究：部分双曲系统， 若 d 维的中心方向可以分解成d 个一维的具有控制分解的子丛，系统的SRB测度的存在性问题， 这是Young L.S.提出的问题；切空间具有连续分解 E^{cu}⊕E^{cs}系统，假定子丛 E^{cs} 无正指数，并且存在一个正Lebesgue测度的集合，E^{cu} 方向是非一致扩张的系统， SRB测度的存在性问题；部分双曲系统，TM= E^{cu}⊕ E^c⊕ E^s, 若对于u-gibbs测度的中心方向的Lyapunov 指数都是既有正也有负时，SBR 测度的唯一性以及遍历稳定性. 同时考虑对于双曲不变集，Palis, Viana 等定义的upper stable维数估计问题以及这个维数对于系统的连续依赖性问题，这些问题对于研究同宿相切之后的动力学现象具有非常重要的作用。

本项目主要考虑了非双曲系统的动力学、遍历性以及相关的动力系统的维数问题，我们证明了对于部分双曲系统， 若d维的中心方向可以分解成d 个一维的具有控制分解的子丛， 系统的SRB测度的存在性问题， 这是Young L.S.提出的问题； 我们也证明了中心可分解成最扩及最压的部分双曲系统SRB测度的扰动的稳定性； 我们也给出了具有控制分解的紧不变集上的每一个不变测度的局部熵与Lyapunov 指数的关系； 对于非共形排斥子， 我们证明了奇异维数对于映射的连续依赖性并给出了目前最好的维数估计公式。 进一步， 我们研究了双曲系统以及非一致双曲系统的的矩阵上链，Banach上链的非一致Livisic 定理。在国际著名期刊GAFA， JFA， JDE， ETDS， Math.Z, Nonlinearity, DCDS 等发表11篇论文， 还有一篇已投 CMP（已修改）。