非一致双曲系统的Oseledec不变子丛相关问题研究

当前微分动力系统的核心研究内容是从一致双曲走出来的并接近一致双曲的系统（the systems beyond hyperbolicity）。大致地，包括部分双曲系统和非一致双曲系统两类。它们之间的唯一区别是Oseledec不变丛之间的夹角差异：前者是夹角一致地远离0，后者是夹角非一致地远离0。我们将运用格数理论和单谱条件下覆盖测度的有限性等技术来研究C^1 通有（generic）意义下，Lyapunov指数逼近和Oseledec不变子丛之间的夹角逼近性质。同时，还将结合近两年关于指数扰动的技术探讨具有单谱性质的微分同胚的稠密性。

在解决结构稳定性问题之后，微分动力系统的研究内容更多倾向于从一致双曲走出来的并接近一致双曲的系统（the systems beyond hyper-bolicity），尤其是部分双曲系统（partial hyperbolicity）和非一致双曲系统（non-uniform hyperbolicity）两类。而Lyapunov指数和不变丛之间的夹角，是研究工作中颇受关注的两个对象。.我们以两类系统的Lyapunov指数、不变丛之间的夹角及周期轨逼近性质等为研究内容，按照计划开展了研究工作，取得了下面四方面的成果：.一是，证明了对于C^1部分双曲保体积的微分同胚，其任意近旁存在扰动同胚，满足各个积分指数非零性质。同时，对于远离同宿切之外的系统，C^1通用意义下，映射是遍历的，且中心指数均是一重的；对于扰不掉同宿切的系统，如果其满足center bunched 条件，那么C^1 通用意义下，映射也是遍历的，且有两个相同的中心Lyapunov 指数。.二是，提出了C^1非一致双曲系统上的一类碎轨跟踪性质，强调跟踪无穷伪轨段，以及伪轨段的首尾项无需在同一个Pesin 块等性质，以克服以往跟踪引理跟踪出来的周期点，无法预见其所在Pesin 块以及是否属于支撑集，进而不适合于“迭代式”地寻找跟踪点的困难，并一次性找到所需的跟踪点。以之为工具，我们发展了Sigmund 的一个结果，并证明了当支撑集孤立时，具有最大震荡性质的点在支撑集中构成一个剩余集。.三是，对于一个双曲遍历测度所决定的非一致双曲系统，给定其Pesin 集上支撑的不变测度全体的一个非空紧连通子集，我们考察这个子集的饱和集上的拓扑熵，并证明了其恰好和测度熵吻合。而且，在适当条件下，给定不变测度空间中的任一非空紧连通子集，其饱和集的拓扑熵会等于测度熵的下确界。进而，体现饱和集（拓扑意义下“稀疏”集）在熵意义下的点“稠密”性质。.四是，研究了一般C^1微分动力系统（不一定单谱）的Oseledec 不变丛的逼近问题，证明了对于一个双曲遍历测度所决定的非一致双曲系统，其Pesin 集上任意一个回复点，都存在一个双曲周期点逼近这个点，而且，这个周期点上的任两个Oseledec 不变子丛之间的夹角的平均值逼近给定点的相应的两个不变子丛之间的夹角的平均值。进一步，我们得到了平均线性无关数等的相关。