遍历理论及其在组合数论中的应用

This project studies ergodic theory and its application to combinatorial number theory. We will focus on the basic theory of an ergodic system, particularly, on the recurrence, complexity and stability of the system and the applications to combinatorial number theory. precisely, we will study zero entropy system and Furstenberg's conjecture, the entropy theory of countable sofic groups actions. the pointwise convergence of multiple ergodic average, nilsystems and Bohr problem, high order almost automorphy, the stability of Markov chain of matrix values. We expect: find some invariants with variational relation for zero entropy system, and apply them to Furstenberg's conjecture; extend the entropy theory of amenable groups to that of countable sofic groups; prove the pointwise convergence of the double average，and make some break though for the classical problem on the pointwise convergence of the multiple average for a single transformation; obtain some equivalence description of high order automorphy and the return time sets for high order nilsystems, and applications; show that the difference of a return time set of a high order nilsystem contains a nil-Bohr set and make progress on Bohr problem; characterize the stability of matrix-valued Markovian chain.

本项目研究遍历理论及其在组合数论中的应用。我们将围绕遍历系统的基本理论，特别是回复性、复杂性、稳定性以及它们在组合数论中的应用开展研究。具体地说，我们将研究：零熵系统不变量与Furstenberg猜测、可数sofic群作用下的熵理论、逐点的多重遍历定理、幂零系统与Bohr问题、高阶几乎自守系统和矩阵值马尔科夫链的稳定性等问题。预期：引入有变分关系成立的零熵系统不变量，对Furstenberg猜想的研究取得进展；将amenable群作用熵的诸多理论扩展到可数sofic群作用；得到一般的2重平均的逐点收敛定理，在单个映射的多重遍历平均的逐点收敛问题上取得突破；对高阶幂零系统回复时间集的结构进行深入研究，获得高阶几乎自首系统的若干等价刻画和应用；证明高阶幂零系统的回复集包含一个一阶幂零系统的回复集，在Bohr问题的研究上取得突破；得到马尔科夫链稳定性的示性刻画等。

在项目执行期间，叶向东、黄文、邵松获2018年度国家自然科学奖二等奖，项目负责人叶向东在2019年当选中国科学院院士。累计培养出站博士后4人，博士毕业15人（其中1人获2019年中科院优秀博士论文），硕士毕业14人。项目组成员与他人合作共计发表论文69篇，另有7篇论文已被接受。..本项目围绕遍历系统的基本理论，特别是回复性、复杂性、稳定性以及它们在组合数论中的应用开展研究。在高阶几乎自守系统、多重遍历定理、零熵系统与Sarnak猜测等问题上取得了一系列重要结果。.Bohr问题是调和分析和动力系统中一个多年未解决的问题，美国著名数学家Veech在1968年证明此问题几乎正确(忽略零密度集的意义下)。我们提出此问题的高阶形式，并以幂零李群为工具证明此问题的高阶形式也几乎正确。另外给出了高阶几乎自守系统的多种刻画，此结果建立了回复性与幂零系统间的深刻联系。.多重遍历定理源于沃尔夫奖得主Furstenberg在1977年使用遍历理论的方法给出Szemeredi定理新的证明这一经典工作，它涉及多重遍历平均是否收敛的问题。我们在逐点多重遍历定理方面取得进展，建立了遍历distal系统的逐点多重遍历定理。这项工作和菲尔兹奖得主Bourgain 1990年的工作一起被后续研究者称为相关研究的二项最显著成果，也被知名学者Weiss（美国艺术与科学院外籍院士）,Host-Kra(美国艺术与科学院院士)等人在国际会议和专著中多次专题介绍。.2009年沃尔夫奖得主Sarnak提出了关于莫比乌斯函数与零熵序列渐近正交性的Sarnak猜测，这是目前熵理论与数论关联最为基本的科学问题之一，当前相关研究刚刚起步。我们在零熵系统与Sarnak猜测方面取得进展，对零熵的非交换环面自同构、次多项式平均复杂度系统证明了Sarnak猜测。我们在Sarnak猜测方面的工作已被菲尔兹奖得主陶哲轩引用，Ferenczi等2018年在关于Sarnak猜测最新进展的综述文章中用第5.4节来专门介绍我们关于次多项式复杂度方面的工作。.此外，我们在动力系统混沌理论与复杂性理论、amenable群作用熵理论以及矩阵值马尔科夫链的稳定性的示性刻画等方面也获得了一系列结果。