动力系统和组合数论中若干问题的研究

We will focus on several important problems related to dynamical systems and its application to combinatorial number theory. We will investigate Furstenberg's problem concerning topological disjointness, hope to find better necessary or sufficient conditions. Study the return time of a minimal point to its neighborhood, hope to prove that weak product point is not necessarily a minimal distal point. Discuss sequence entropy, hope to find more possibilities of the set of maximal entropies of all continuous maps on a given compact metric space. We will consider Bohr's problem, find the class of syndetic subsets of Z for which the Bohr's problem has an affirmative answer, and then try to find a counter-example to the problem. Study the existence of maximal nilfactor of a dynamical system under a group-action and other related questions. We will consider pointwise convergence of the multiple ergodic averages, and hope to prove the convergence for some related question. Discuss the embedding problem of a dynamical system into the Hilbert cube and other related questions. Continue the research on the lowerability of entropy over subsets or factors, and problems related to local entropy theory.The research on the topics will deep our understanding of the recurrence, complexity in dynamical systems and the applications to combinatorial number theory, promote the development of the related theories.

本项目围绕动力系统和组合数学中的若干重要问题开展研究。研究Furstenberg不交性问题，寻找其更好的充分或者必要条件；研究极小点回复到其邻域时间集的刻画，以期证明极小弱乘积回复点不一定是distal点。研究序列熵，希望得到空间X上所有连续映射极大熵组成集合可能的取值。研究Bohr问题，希望对一类相对稠密子集得到Bohr问题的正面回答，进而寻求Bohr问题可能的反例。研究一般群作用下极大幂零因子的存在性问题和其它因子问题。研究多重遍历平均逐点收敛问题，希望在相关问题的研究上取得突破。研究动力系统在Hilbert方体中的实现问题和其它回复性问题。继续熵的可降性和局部熵理论的研究。这些问题的研究将加深人们对于动力系统回复性、复杂性和其在组合数论中的应用的理解，促进相关理论的进一步发展。

本项目围绕《 动力系统和组合数论中若干问题》进行研究。负责人与他人合作共完成论文16篇（没有统计其他参加者的工作），出站博士后3人，博士毕业4人，硕士毕业2人。. 1977年Furstenberg建立了遍历系统的结构定理，并用此结构定理给出了著名的Szemeredi定理的遍历理论证明，这是Furstenberg获得Wolf奖的主要工作之一。由Furstenberg的工作自然产生了是否有多重遍历定理这一重要问题。 2005年Host与Kra使用幂零因子为工具，得到了平均意义下多重遍历定理。由于幂零因子在遍历系统研究中的重要性，在拓扑动力系统中如何得到它的最大幂零因子便成为一个自然需要解决的问题。这方面的突破是最近Host-Kra-Maass的工作，对于极小distal 系统证明了高阶局部渐近关系为等价关系，说明相对它的商空间为原系统最大幂零因子。邵松-叶向东在2012 年对于一般极小系统解决了这一问题。本项目一个重要的工作是研究了两个与幂零系统密切相关的问题：调和分析中著名的Bohr问题以及调和分析和微分方程等领域中几乎自守性质的研究。首先，我们给出了高阶Bohr问题的一个自然提法为：在相对稠密集中出现长为k的等差数列的公差全体是否为高阶幂零序列？证明了问题在忽略一个零密度集合意义下是成立的。另外我们引入高阶几乎自守系统的概念，并且进行了细致的研究，给出它的各种刻画。这部分结果2016年发表在Mem. Amer. Math. Soc.上. 与之相关的另外2个结果，已经接受发表。. 项目的另一个主要成果是研究了C*-代数形式的Sarnak猜测，对零熵的非交换环面自同构证明其满足Sarnak猜测，相关论文2017年发表在J. Differential Equations上。最近，黄文-王之任-叶向东通过引入一种新的复杂性函数，证明了对于复杂性低的系统，Sarnak猜测成立。此文已经投稿。