模形式的算术性质及其在组合数论中的应用

In this project, we will investigate arithmetic properties of the coefficients of modular forms and their applications in combinatorial number theory. More precisely, we will study nonzero problem, nonzero and distributions in residue classes on the coefficients of modular forms. Also, we will consider congruences and asymptotics properties of different partition functions with the help of harmonic Maass forms. The tools are involved number theory, combinatorics, and representation theory. Our new ideas will explain some phenomena in combinatorics by modular forms and solve combintorial problems from number theory's techniques. The results of this project are expected to provide new approaches to Lehmer conjecture, Newman conjecture and other important problems. These promote certainly the developments of number theory, combinatorics and other subjects.

本项目主要研究模形式Fourier系数的算术性质及其在组合数论中的应用，具体研究内容包括模形式Fourier系数的非零性，非整除性模分布性质及调和Maass形式在分拆函数的同余及逼近等方面的应用。本项目的研究工具包含数论与组合方面的技巧以及表示论的结果。本项目的创新之处在于用模形式的观点解释组合中的现象，用解析数论的方法和技巧处理组合数论的问题。本项目的研究结果对Lehmer猜想，Newman猜想等重要问题的解决提供新的途径和方向，对数论和组合及相关学科的发展都有重要意义。

模形式和分拆函数是数论中重要的研究对象，在数学和物理等领域都有广泛应用。本项目主要研究模形式fourier系数的算术性质及其在组合数论中的应用。本项目的主要结果包括证明Judge-Zanello关于分拆函数密度的猜想中奇素数幂的情形；证明Lerch函数取零值的密度为1，并得到真正的渐近公式；用二次型理论和乘性数论给出Schur分拆函数奇值的上下界估计；证明了Roges-Ramanujan 分拆函数的奇值估计的渐近公式，改进Gordon的上下界估计。得到了Erdὄs-Kac短区间定理; Mangoldt函数的渐近估计; Manin猜想的部分证明； Titchmash因子问题短区间估计；平移素数的最大素因子估计；特殊函数的短区间估计；半整权模形式的首次变号的界的估计；kth root分拆函数的渐进公式等。本项目的研究结果是对模形式和分拆函数相关课题的在国际学术前沿研的推进和引领，对解析和组合数论的发展都有科学意义。