组合方法在数论和代数中的应用

The interdisciplinary research among the different branches in mathematics is a development trend in recent years. The research in this project focuses on the applications of combinatorial methods in number theory and algebra. It includes the following aspects: (1) use the theory of basic hypergeometric series to study the partition congruence. Especially, we mainly focus on the research direction of S. Ramanujan's work. (2) use the theory of Rota-Baxter algebra to generalize the generating function. Find new combinatorial structures and sequences. Meanwhile, use combinatorial structures to interpret the structures in Rota-Baxter algebra. (3) combining basic hypergeometric series with Rota-Baxter algebra, we focus on giving new proofs of the known identities and finding new identities by using the theory of Rota-Baxter algebra.

数学中各学科的交叉研究是近年来的一个发展趋势，本项目的研究重点是将组合方法与数论同余和Rota-Baxter代数相结合，在以下几个方面开展工作： （1）利用基本超几何级数理论研究分拆同余关系，本项目侧重于S. Ramanujan在此类工作的研究方向； （2）在Rota-Baxter代数的理论框架下研究扩展的生成函数理论，发现新的组合结构和序列性质，并利用相关组合结构诠释Rota-Baxter代数结构； （3）将基本超几何级数与Rota-Baxter代数相联系，利用Rota-Baxter代数理论给出新的等式证明及发现新的恒等式。

数学中各学科的交叉研究是近年来的一个发展趋势，本项目的研究重点是组合方法在数论同余和Rota-Baxter代数中的应用，另外，项目还针对组合方法在研究序列性质以及在生物数学中的应用方面展开研究，主要在以下几个方面取得了重要进展。(1) 利用基本超几何级数理论和模形式理论研究各类分拆同余，包括broken k-diamond分拆，k dots bracelet分拆，l-regular分拆，overpartitions，多重分拆，以及与Ramanujan theta函数幂次相关的一类分拆函数。(2) 在Rota-Baxter代数的理论框架下扩展了经典的生成函数理论，发现了新的组合结构和序列性质，并利用相关组合结构诠释Rota-Baxter代数结构。同时结合基本超几何级数等式得到了一些序列在Rota-Baxter代数框架下的生成函数。(3) 利用不同的组合方法研究了各类序列性质并解决了一些相关猜想。(4) 利用构造双射的方法研究了与蛋白质关联图相关的组合结构和计数问题。