随机扰动理论和随机算法在大规模矩阵计算中的应用

Based on the characterisitc of stochastic perturbation and randomized algorithms, we investigate the stochastic perturbations and randomzied algorithms for the Tikhonov regularization to the discrete ill-posed problem, generalized linear least squares and total least squares problem; oblique projection and its applications to the perturbation bound of the eigenvalues; GeneRank for Gene information and compare with the standard deterministic algorithms. This project has both theoretical and practical background.

根据随机扰动和随机算法的特点，本项目研究研究矩阵计算中的Tikhonov正则化和广义奇异值分解的随机扰动和随机算法,及其在求解离散不适定问题中的应用；研究广义最小二乘和整体最小二乘的随机扰动和随机算法；研究斜投影的随机扰动和随机算法,应用于特征根的扰动分析；对基因信息检索中GeneRank的随机算法进行探索，并与标准的确定性算法相比较。本课题具有重要的理论意义和广泛的应用背景。

根据随机扰动和随机算法的特点，本项目研究了矩阵计算中的 Tikhonov 正则化和广义奇异值分解的随机算法, 及其在求解离散不适定问题中的应用；研究带结构的Tikhonov 正则化的结构条件数，并用小样本统计条件数来快速估计结构条件数；研究整体最小二乘和广义Sylvester方程的小样本统计条件数和有效条件数; 研究张量（高维矩阵）的理论和计算; 研究源于随机最优控制的有理Riccati方程的同伦算法; 运用递归神经网络，设计了计算矩阵广义逆的数值算法；研究广义逆的符号模式;设计了蛋白质基因信息检索中PageRank的算法。在重要的学术期刊发表学术论文二十余篇，在Academic Press 出版专著《张量的理论和计算》；在科学出版社出版专著《偏微分方程数值解的有效条件数》和《广义逆的符号模式》，及教材《数值线性代数及其应用》。