随机矩阵乘积的极限定理及其在随机游动和分支过程中的应用

在本项目中，我们将研究关于随机矩阵乘积的几个问题，并以此为工具来研究一维随机环境中的非紧邻随机游动和随机环境中的多型分支过程以及分支随机游动等。我们的目标有以下几个：1.随机矩阵的乘积的极限定理，包括研究多维仿射随机游动的极限定理（稳定分布律和局部极限定理等）和研究随机矩阵乘积的更新定理等。2.研究一维随机环境中的非紧邻随机游动的尾概率分布问题，大偏差问题及稳定分布律问题。3.考虑关于随机环境中的多型分支过程的极限定理。4.考虑多维随机环境中的分支随机游动的极限定理及与其密切相关的多维乘积瀑布（multiplicative cascades）中的自然鞅的矩的存在性问题及尾概率问题等。1的研究内容是关于随机矩阵的，而在后面的几个问题的研究中我们都需要使用随机矩阵的乘积进行研究。我们的研究将揭示随机矩阵的乘积与这几类过程的密切联系，另外我们也希望探索分支随机游动及乘积瀑布与随机分形之间的联系

本项目的研究成果大致可分为如下五个方面：1) 应用算子的谱理论方法，研究了随机矩阵相关的极限定理，包括随机矩阵为系数的多维仿射随机游动的Birhkoff和的极限定理及局部中心极限定理；2）研究了随机环境中的分枝过程关于自然鞅的几乎必然和L^P收敛速率的极限定理；3）研究了直线上随机环境中分枝随机游动中粒子分布的一系列极限定理，其中包括了关于粒子计数测度的中心极限定理，大偏差定理，中心极限定理的收敛速度及一类鞅的收敛速度等；4）深入研究了随机环境中的分枝过程、分枝随机游动等过程中鞅列的加权矩问题，给出了其加权矩存在的充分必要条件等；5）研究了关于一般鞅序列的大偏差，收敛速度等问题。