结构张量的快速算法及其在信号处理中的应用

This project investigates fast algorithm for the structured tensor and its applications in the signal processing. It includes the algebraic property of the Hankel tensor: multi-level Vandermonde decomposition and block Hankel tensor-vector product based on multi-fast Fourier tansformation, with its applications to exponential data fitting. We consider the theory and fast algorithms for the singular M-tensor multilinear equations and investigate the conditions for the unique solution. We study the fast computation of stationary joint probability distribution of sparse Markov chains. The equivalent definitions for pseudospectrum of the tensor, the theory and numerical methods for the pseudospectrum of the structured tensor are presented. We explore the neural network algorithms for tensor ranke-one approximation, and apply the randomized algorithms for the approximation of the multi-linear rank and the tensor Train approximation.. This project has both theoretical and practical background in the high-dimensional signal processing and tensor optimization.

本课题研究结构张量的快速算法及其在信号处理中的应用。包括Hankel张量的代数性质: 多层Vandermonde分解和基于多重快速Fourier变换的块Hankel 张量-向量乘积的快速算法, 及其在指数型数据拟合等问题中的应用。 研究奇异M-张量多重方程组的理论和算法, 讨论该张量多重方程组的解在何种情况下唯一。研究稀疏高阶Markov链平稳分布的计算。给出张量伪谱的一些等价定义和结构张量伪谱的计算公式。研究与张量秩一逼近相关问题的神经网络算法, 将随机算法的思想应用到计算张量的多线性秩逼近和张量Train的近似。.本课题对高维信号处理和张量优化等具有重要的理论意义和广泛的应用背景。

本课题研究结构张量的快速算法及其在量子信息和生物信息中的应用。研究非奇异M-张量和H-张量多重方程组的理论和算法, 讨论该张量多重方程组的解在何种情况下唯一。研究稀疏高阶Markov链平稳分布的计算。给出张量伪谱的一些等价定义和结构张量伪谱的计算公式。研究与张量秩一逼近相关问题的神经网络算法, 使用神经网络的算法来求解时变与时不变张量方程组、时变张量广义特征值和张量补偿问题；研究随机张量和随机张量补偿问题，系统地研究了张量T-积下， 广义张量函数的理论和性质. 将随机算法的思想应用到计算张量的多线性秩逼近和张量Train的近似。由Springer出版了张量专著《Theory and Computation of Complex Tensors and its Applications》, 总结了近五年来我们的团队在研究张量的理论与算法方面的成果。