流形的收缩几何与拓扑

收缩(systolic)几何与拓扑是近三十年来十分活跃的数学领域，它为流形的几何与拓扑研究注入了新的活力。我们将结合代数拓扑的已有成就及度量几何方面的最新成果研究流形的各种收缩不变量及其与旧的度量不变量（如体积）之间的关系，为了解流形的某些拓扑性质提供几何思路。通过一些重要的收缩不等式的深化和一般化研究，阐明这些普适不等式成立的数学机制。采用球体积下估计方法，探索更强的收缩不等式。具体地，本项目将研究以下四个方面的内容：Gromov收缩不等式的延续与深化；高阶同伦收缩周期，相对收缩周期；球体积与收缩不变量的估计；收缩拓扑。本项研究不仅能丰富收缩几何与拓扑的内涵，促进该领域一些重要问题的进展，而且有助于加强代数拓扑、黎曼几何、凸几何及分析学之间的密切联系。

本项目研究内容属于度量几何与代数拓扑范畴，更具体地，属于著名数学家M. Gromov所倡导的几何与拓扑研究领域。项目旨在通过Urysohn宽度等度量不变量的深入和一般化研究及代数拓扑中一些已有成果的量化处理，加深对Gromov收缩不等式的认识，获得新的收缩型不等式。通过本项目，我们证明了从n维黎曼流形到n维平坦环面的每个映射同伦类的膨胀本质上就是相应的1阶上同调类的范数。这个结果有一系列重要的推论，例如，加强了稳定收缩周期、拓扑映射度与与流形体积之间的联系。对于从n维距离流形到n维球面的映射，通过距离流形剖分的几何与组合测度关系研究，证明了k-膨胀不超过D的同伦类数目的数量级为D^(n/k)，部分地回答了Gromov提出的一个问题。联系到Urysohn宽度，对于欧式格、点构形及嵌入欧式空间的单纯复形，我们引入了几种宽度概念，获得了这些宽度之间几个最优的不等式关系。 我们通过该项目所获得的结果对于加强代数拓扑、黎曼几何、分析学与凸几何之间的联系，有一定的理论意义。目前本项目有一篇论文在国际学术会议报告，两篇论文已发表，大部分结果处于投稿状态。在项目执行期间，项目负责人有5名几何与拓扑方向的硕士研究生毕业。项目资助提高了我们的科研水平，锻炼和加强了我们的学术队伍。