定量拓扑与黎曼流形的度量不变量

在代数拓扑和微分拓扑中引入度量方法，对拓扑学中已定性解决的问题再进行精确的定量研究。定量拓扑的研究涉及到众多的度量不变量：映射的膨胀，黎曼流形的体积、充填不变量、systolic不变量等，它们为定量拓扑的研究提供了基本工具，同时定量拓扑方法也为这些不变量的估计提供了新的途径。具体地，本项目将研究以下四个方面的内容：映射的几何与拓扑；定量同伦拓扑；黎曼流形的充填不变量；同调类的范数、体积与systolic不变量。这些研究内容既在拓扑与几何中有重要应用，也在分析学中有其应用背景。本项研究不仅能促使我们从定量的角度认识拓扑学中一些经典内容的精确含义，而且有助于加强拓扑、几何及分析之间的密切联系。所以定量拓扑及它所涉及的度量不变量的研究有重要的科学意义。