低维流形的几何与拓扑

本课题的主要拟研究如下几类问题：.　（1） 四维流形的几何与拓扑：研究Seiberg-Witten理论与周期流形、四维Einstein流形的拓扑等。.　（2） 正（负）曲率黎曼流形的几何拓扑：研究正曲率流形的拓扑有限性问题，即对于给定同伦型，是否在同胚意义下只有有限多个的正曲率流形实现该同伦型。. （3）研究Heegaard分解与映射类群的关系，研究Heegaard分解的距离所蕴含的三维流形的拓扑性质和几何结构。. （4）低维流形映射或自同胚的周期点的估计量及与其他拓扑不变量之间的关系。. （5）流形的等变分类问题，如：等变同胚分类、等变配边分类等， 以及哪类群可以非平凡作用到指定流形上等。

在流形的几何及四维流形研究中, 我们发现了四维流形中长时间的正规化的、截面曲率有界的Ricci流的存在性的拓扑阻碍, 如欧拉示性数的非负性等. 利用Seiberg-Witten理论以及等变K-理论等深入研究了四维流形上的群作用, 一方面研究了一些Spin 四维流形上的局部线性群作用的拓扑分类, 在一定条件下证明了某些Spin四维流形上存在不能被任意光滑结构所光滑化的局部线性对合作用. 对一阶同调群为有限群的一些四维流形的二阶同调类, 给出了其表示曲面亏格的下界. 这些结果很好地揭示了四维流形的内在的拓扑性质. . 在三维流形拓扑研究中, 我们讨论了三维流形的Heegaard分解与映射类群、链环群与同伦群之间的关系. 在纽结的隧道数连通和下的行为、融合Heegaard分解的亏格的估计等方面的问题进行了系统深入的研究. . 在等变流形的分类研究中, 我们找出了2-torus流形的等变配边类的典型代表元,从而确定了由2-torus流形生成的等变配边环的环结构及其生成元. 更进一步, 我们证明了一个2n维酉环面流形的酉等变配边类完全由第一及第二个等变陈类给出的等变陈示性数所决定. 利用这些的结果, 获得了非等变配边于零的2n维酉环面流形的不动点个数的下界. 将环面拓扑中单凸多面体上的几种等变流形, 如小覆盖、拟环面作用流形等, 纳入轨道构型空间（orbit configuration space）这个统一的研究框架中. 利用单凸多面体的相关语言, 我们给出了这一类流形的一些拓扑不变量, 如Euler示性数等, 的显性计算公式. 从而揭示了等变流形的拓扑与群作用之间的关系. . 在项目执行期间, 我们组织多次国际性或国内的学术会议, 邀请当前国内外在几何与拓扑领域的学者前来访问, 做学术报告.