手性介质反问题的建模、分析与计算

The scattering and inverse scattering theory is an important field in mathematics and physics. The inverse scattering problems for chiral medium are new topics in recent years. We mainly consider the following problems in three-dimension: 1.The scattering problems for chiral obstacles. We will study the PML technique, the wellposedness of the PML problem and give the error estimates on H(curl) norm; 2.The inverse scatteing problems for chiral obstacles. We will study the sampling method, the point sourse method and the factor decomposition method in the reconstruction of the shape of the obstacles. Our aim is to provide theoretical analysis and effective numerical methods for the scattering and inverse scattering problems by chiral medium. The study on these problems is important in practice. Since our team have good base on numerical methods for the scattering and inverse scattering problems, we can accomplish the preconcerted objective.

声学和电磁学反散射理论是数学物理中的重要研究领域。手性介质反问题是近年来一个新的研究课题。本项目将研究三维情形下手性介质正反散射问题：1.手性障碍电磁散射问题，研究PML吸收边界层的设置，PML问题解的存在性与唯一性，及其与散射问题的解之间，按 H(curl) 范数，关于PML参数的指数收敛性，并且本项目拟给出显示的误差估计公式；2.手性介质反散射问题，研究使用线性探测法、点源法、因子分解法以及逐次线性化方法来重构障碍的形状或其参数。本项目的目标是为手性介质散射与反散射问题提供理论分析和有效的数值计算方法。本项目的研究成果一方面将丰富应用数学和计算数学理论，一方面对人们理解手性介质的散射与反散射现象有所帮助。由于承担过手性介质方面的项目研究（二维情形），本项目申请人及其研究集体在散射和反散射的数值方法方面有很好的研究基础，有能完成预定目标。

手性介质的电磁散射与反散射问题与非线性光学、偏光吸收方面、光波导等光传输方面以及吸波材料开发方面有着直接联系。项目主要成果有：一是手性涂层的柱状体的电磁散射和手性介质环境中有界障碍体的电磁散射，分别通过积分方程方法和带有PML的有限元方法得到了解的存在唯一性，二是对Laplace方程和Helmholtz方程Cauchy问题提出一些有效的数值算法，这些结果发表在Inverse Problems、Inverse Problems in Science and Engineering、Journal of Computational and Applied Mathematics等重要学术杂志上，实现了预期目标。这些研究成果一方面丰富了应用数学和计算数学的理论与数值方法，一方面对人们理解特殊介质的散射与反散射现象以及多频信息反源问题有所帮助。