广义函数空间上算子与算子代数的若干问题

We will research some class of operators and operator algebras on general function spaces. The general function space is a quite general space of analytic functions, it combines Sobolev space and the analytic function constructions, the space originates in the boundedness estimation of singular integral operators with non-smooth kernel. They contain almost all classical analytic function spaces including Hardy 、Bergman and Dirichlet spaces.Since the reproducing kernel has no analytic representation, there are a series of basic problems to be solved. For example, although there are many reserch on boundedness of singular integral operators with non-smooth kernel for Hardy-Sobolev and Bergman-Sobolev spaces of real variables, But there are no any essential results on the compactness of these operators. We know that the compactness is the important characterization of operators, the relative problems are easier for the spaces with anlytic function construction.

本项目主要研究广义函数空间上的几类重要算子及其生成的算子代数。广义函数空间是非常广泛的一类解析函数空间，它是Sobolev空间结构与解析函数结构想结合的产物，起源于调和分析中具有非光滑核的奇异积分算子的有界性估计。它包含了几乎所有常见的解析函数空间，包括Hardy空间、Bergman空间、Dirichlet空间等。我们的研究表明，由于再生核没有解析表达式，它能发挥的作用十分有限，这些空间上各种特殊算子类的很多基本问题都有待解决。例如调和分析中虽然对实变Hardy-Sobolev空间与Bergman-Sobolev空间中具有非光滑核的奇异积分算子的有界性问题作了大量研究，但这类算子的紧性及其它很多基本问题几乎没有出现任何实质性的结果。对于具有解析结构的广义函数空间而言，由于可以借助解析函数理论强大的工具，相关问题的研究则相对容易一些。

本项目主要研究了Hardy-Sobolev空间上特殊算子的代数性质、谱性质，给出了乘法算子有界性的条件，以及一些具有特殊符号的乘法算子的谱性质及Fredholm性质。同时，研究了Fock型空间上算子有界性与紧性。有关Hardy-Sobolev空间上的算子目前已有成果不多，经典的解析函数空间上的方法对这类空间已经不适用，研究这些空间上的算子需要全新的方法。调和分析中研究的奇异积分算子通常限于有界性估计，采用的大多是积分估计，然而对于算子的紧性问题则需要更精确的点估计，由于复空间具有很好的解析结构，所以有可能做到算子的紧性刻画。目前我们所取得的结果对于进一步研究这类空间上的算子结构具有重要的启发意义。同时将调和分析的方法与复解析结构相结合或许可能得到更精细的结果。例如，奇异积分算子的紧性问题在实变情形基本上是空白，其本质的困难正在于点估计。