二维高斯场及其相关问题

Gaussian free field and Liouville quantum gravity are important fields in the probability theory. They are at the cutting edge, where we need great development. We have concentrated on them for two years, and obtained some results. We are going to conduct deeper research in these fields. (1) Gaussian free field is the most important instant in the log-correlated Gaussian field. For the Liouville first passage percolation with respect to log-correlated Gaussian fields, we will investigate the exponent of distance as well as the universality of it, the dimension of geodesics and its relationship with the distance exponent, the number of open paths, and the cardinalities of open clusters. (2) For the Liouville quantum gravity with respect to the continuous log-correlated Gaussian fields, we are going to study the Liouville heat kernel as well as its universality.

高斯自由场和Liouville量子引力场是国际上的前沿领域, 在概率论中占有重要地位, 国内的研究有待大力发展. 申请人近两年涉足该领域的研究, 取得了一定的成果. 我们计划在该领域开展更深入、更精细的研究. 主要内容包括: (1) 在以高斯自由场为代表的对数相关高斯场对应的 Liouville 首达渗流模型中, 研究距离指数及其普适性; 测地线维数及其与距离指数的关系; 开路径的数目; 开簇的大小等. (2) 对连续的对数相关高斯场对应的 Liouville 量子引力场, 研究Liouville 布朗运动的热核指数及其普适性.

本项目的研究成果如下. ..a) 我们证明 Liouville 热核指数与 Liouville 图距离指数存在, 给出它们的关系式, 并给出了上、下界估计. Liouville 热核指数是研究 Liouville 量子引力场的内蕴维数的重要指标, Watabiki 关于该内蕴维数有一个著名的猜想, 我们的结论(结合前人科研成果)证伪了该猜想, 并证明热核指数在对数相关的高斯场中不具有普适性. ..b) 我们研究 Liouville 首达渗流模型和双边水平集中的测地线的长度指数，证明它们都严格大于 1. 揭示了高斯自由场的分层结构以及关于水平集的一个相变现象.